Колебания и волны

Колебания и волны
1. Колебательные процессы.
1.1 Введение, классификация колебаний.
1.2 Кинематика гармонических колебаний.
1.3 Гармонический осциллятор, начальные условия.
1.4 Преобразование энергии в процессе гармонических колебаний.
1.5 Физический маятник.
1.6 Затухающие колебания.
1.7 Колебательный контур, собственные колебания.
1.8 Вынужденные колебания в контуре, резонансная кривая.
1.9 Сложение колебаний одинаковой частоты, биения.
1.10 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
1.11 Примеры решения задач.
1. ВВЕДЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ.
Колебательным процессом, или колебанием называют любой
периодический (т.е. повторяющийся процесс)
x (t )  x (t  nT ) ,
(1)
где t - время, T - период колебания, n = 1, 2, ... , x - отклонение
некоторой величины от своего равновесного значения. Выражение (1)
означает, что значение величины x повторяется через промежутки
времени T, 2T, и.т.д. Иногда равенство (1) приближенное, например, если
колебания затухают. Колебательные процессы окружают нас повсюду, и
такой вид движения относится к самым распространенным в природе и
технике. Колебания существуют не только в физических системах; это
может быть биологический объект, экономический или социальный
процесс и.т.п. Мы будем рассматривать физические системы, хотя
используемое математические описание, известное как теория колебаний,
является весьма общим .
Колебания возникают в любой системе, имеющей устойчивое
состояние равновесия при отклонении от этого состояния. В механических
колебательных системах при отклонении от равновесия возникает сила,
которая стремится вернуть систему назад; её называют возвращающей или
квазиупругой силой. Например, в случае самой простой модели - груз на
пружине - это сила упругости. Слово «сила» в общем случае не следует
понимать буквально: в механике это может быть и момент силы, для
электромагнитных колебаний эта «сила» обусловлена явлением
самоиндукции.
Колебания различаются по нескольким классификационным
признакам. Во-первых по форме (т.е по виду функции x(t) ). Здесь
колебания делятся на две группы: гармонические и негармонические ( все
остальные). Гармоническими называют колебания, описываемые
функцией времени вида
x (t )  A sin(t   )
(2)
 (см. рис.1), где A  амплитуда (максимальное отклонение),
циклическая частота ,  - начальная фаза колебаний. Заметим, что вместо
функции синус в формуле (2) можно писать и косинус (они отличаются по
фазе на  / 2 ).
Рис.1.
. Осциллограммы гармонических колебаний. Начальная фаза
1-го колебания равна нулю, второго -  / 2 .
Гармонические колебания выделяются из всех других по
следующим двум причинам: во-первых достаточно малые колебания, как
правило, являются гармонически. Во вторых колебания любой другой
формы
(негармонические),
в
сущности,
представляют
собой
суперпозицию гармонических (в математике это положение называется
теоремой Фурье, а соответствующее представление периодических
функций - рядом Фурье).
По характеру возникновения колебания делятся на собственные (или
свободные) и вынужденные. Собственные - это колебания, вызванные
только начальными условиями (например, начальным смещением или
начальной скоростью). Вынужденные - это колебания вызванные
действием периодической (т.е. также колебательной) внешней «силы».
По динамике процесса колебания делятся на незатухающие,
затухающие (при этом амплитуда уменьшается со временем),
нарастающие (амплитуда растет). Например, собственные колебания
всегда являются затухающими. Существуют также автоколебания колебания, вызванные действием непериодической «силы» и
параметрические колебания - колебания, вызванные периодическим
изменением какого-либо параметра системы, связанного с её энергией
(например, раскачивание качелей без внешнего воздействия).
2. КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.
Рассмотрим гармоническое колебание, описываемое уравнением (2).
Напомним, что x ( t ) - смещение некоторой величины от равновесного
состояния. Колебание определяется заданием амплитуды, частоты и
начальной фазы.
Поскольку период функции sin t равен 2 , период функции
sin( t )  sin(
2
t)
T
будет
равен
T.
Поэтому
период,
частота  ,
циклическая частота  связаны соотношением
  1 / T ,   2 .
(3)
Если смещение определяется формулой (2), то мгновенная скорость
v есть производная по времени от x , а ускорение a - вторая
производная
v ( t )  x ( t )  A  cos t    ,
a (t )  v (t )   A  2 sin t    .
(4)
Заметим, что последнюю формулу можно записать в виде
a(t )  x (t )    2 x(t ) .
(5)
Из выражений (4) ясно, что максимальная скорость и максимальное
ускорение определяются формулами
v max  A , a max  A 2
(6)
3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР, НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.
Рассмотрим простейшую модель колебательной системы - груз
массы m, закрепленный на пружине с коэффициентом жесткости k,
который может перемещаться без трения в горизонтальном направлении
(см. рис.2).
Рис.2. Пружинный маятник.
t на него действует сила
В произвольный момент времени
упругости, и второй закон Ньютона для груза имеет вид
ma  m x    k x (t ) .
(7)
Разделим на m и запишем (7) в форме
x    0 x  0 ,
2
(8)
где  0  k / m . Пока это только обозначение, и смысл величины  0
предстоит выяснить. Мы получили дифференциальное уравнение,
связывающее смещение и его вторую производную.
Подставив
выражение (5) в (8) мы получаем тождество (т.е. равенство
(8)
выполняется в любой момент времени при    0 ). Это означает, что
общим решением дифференциального уравнения (8) является
гармоническое колебание (2), циклическая частота которого
2
 0 k/m .
(9)
Дифференциальное
уравнение
(8) называется уравнением
гармонического осциллятора (oscillation - колебание). Оно имеет
универсальный вид для любой системы,
где возможны незатухающие
гармонические колебания. Итак, частота собственных колебаний
пружинного маятника определяется формулой (9), а в общем случае она
определяется свойствами самой колебательной системы.
Выясним, от чего зависит амплитуда и начальная фаза. Положив в
формуле (2) и в первой формуле (4) t  0 , запишем
x0  x ( 0)  A sin  , v0  v ( 0)  A cos  .
Отсюда можно выразить амплитуду и начальную фазу:
A2  x02  v02 /  2 ,   arctg( x0 / v0 ) .
(10)
Таким образом, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний
определяется начальными условиями . В рассмотренном примере это
начальное смещение груза и начальная скорость. В частности, если
колебание возникает из-за начального смещения (начальная скорость
равна нулю), то как видно из (10), A  x0 ,    / 2 . Если колебание
вызвано начальным толчком (заданием начальной скорости в положении
равновесия), то A  v0 /  ,   0 .
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ПРОЦЕССЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ.
При любом колебательном процессе происходит периодическое
преобразование энергии из одного вида в другой. В рассмотренной
модели
это потенциальная энергия деформированной пружины и
кинетическая энергия груза. Они определяются выражениями
E p  k x 2 / 2  1 / 2 kA2 sin 2 ( 0 t   )
E k  mv 2 / 2  1 / 2 m 0 A 2 cos2 ( 0 t   ) .
2
k  m 0 ,
sin 2 ( 0 t   )
коэффициенты
перед
2
и cos ( 0 t   ) одинаковы. Складывая эти формулы (и учтя основное
2
2
тригонометрическое тождество sin z  cos z  1 , z   t   ), получим
Поскольку
2
E p  Ek  1 / 2 m 0 A2  const .
2
(11)
Таким образом, хотя потенциальная и кинетическая энергии
изменяются со временем (см. рис.3), полная энергия колебаний не зависит
от времени и определяется выражением (11) .
Рис.3. Первая кривая - гармоническое колебание, вторая его потенциальная энергия, третья - кинетическая энергия.
Видно, что максимум кинетической энергии соответствует
минимуму потенциальной и наоборот, а сумма их остается постоянной.
Сохранение энергии обусловлено тем, что мы пока не учли трение. Хотя
формула (11) получена для простейшей модели колебательного движения,
заметим, что энергия колебаний в любой системе пропорциональна
квадрату амплитуды и квадрату частоты.
5. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.
Физический маятник - это любое тело, имеющее ось вращения, не
совпадающую с его центром масс (см., например, рис.4) . Здесь точка С центр масс, l - его расстояние до оси вращения О.
Рис.4. Физический маятник.
При выведении из состояния равновесия он будет совершать
колебания, которые при небольших амплитудах будут гармоническими.
Покажем это. Исходим из основного уравнения динамики вращательного
движения
I  M ,
(12)
где I  момент инерции, M - момент сил,  - угловое ускорение. Из
рис.4 ясно, что вращающий момент создает только сила тяжести и
M   mg l sin  ,
где  - текущий угол отклонения, зависящий от времени. Поскольку
угловое ускорение  есть вторая производная от  , подставив все в (12),
запишем
   mgl / I sin   0 .
(13)
Обозначив mgl / I   0 , мы получим дифференциальное уравнение
«похожее» на уравнение гармонического осциллятора (8). Конечно, это
совсем другое уравнение и гармоническое колебание не является его
решением, а значит колебания физического маятника не являются в общем
случае гармоническими. Однако, если они достаточно малы, так, что
можно считать sin    , то уравнение (13) превратится в (8) (разумеется
для текущего значения угла  (t ) ), где циклическая
частота собственных колебаний определяется формулой
2
 0  mgl / I .
(14)
Следовательно, период колебаний равен
T  2 /  0  2 I / mgl .
(15)
В частности, для математического маятника ( для него момент
2
инерции I  ml ) из (15) получается хорошо знакомая вам формула
T  2
l/g.
6. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.
Любые собственные колебания со временем затухают из-за потерь
энергии. В механических системах основной причиной таких потерь
является вязкое трение. Вязкое трение - это трение движущегося тела о
среду. При малых скоростях движения она пропорциональна скорости
FTp    v    x  .
(16)
где  - коэффициент вязкого трения (он зависит от вязкости среды,
размеров и формы тела). Вернемся к простейшей модели - пружинному
маятнику (см. П.3) и учтем в формуле (7) кроме упругой силы силу трения
(16). При этом уравнение осциллятора (8) запишем в виде
x   2 x    0 x  0 .
2
(17)
где    / 2m - называется коэффициентом затухания. Решением
уравнения (17) являются затухающие колебания (см..рис.5),
т.е.
колебания, амплитуда которых уменьшается со временем
x( t )  A( t ) sin( 1t   ) , A( t )  A0 e  t .
Это можно проверить,
уравнение (17).
(18)
дифференцируя (18) и подставляя x , x  , x  в
Рис.5.
Осциллограммы затухающих колебаний. Коэффициенты затухания
для этих кривых связаны соотношением  1   2   3 . Кривая 3
соответствует границе апериодического режима.
Частота затухающих
незатухающих
колебаний
несколько
меньше
частоты
1   0  2 .
(19)
При сильном затухании, (если    0 - сильно вязкая среда)
2
колебательный режим превращается в апериодический
(колебание
затухает на промежутке времени, меньшем периода, т.е. колебаний в
сущности нет).
Кроме коэффициента 
приняты и другие характеристики
затухания:   1/  - характерное время затухания (время уменьшения
e раз),    T - логарифмический декремент
амплитуды в
затухания (T - период колебаний), Q   0 / 2 - добротность
колебательной системы. Последние две характеристики безразмерны;
слабое затухание соответствует малому значению декремента, или
большой ( Q>>1 ) добротности.
7. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР; СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.
Рассмотрим теперь электромагнитные колебания. Заметим
предварительно, что электромагнитные колебания, распространяющиеся в
пространстве - электромагнитные волны - это неотъемлемая составляющая
современной цивилизации:
радио, телевидение, средства связи,
радиолокация, интернет - вот основные формы их применения.
Рис. 6. Колебательный контур.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L ,
конденсатора C и сопротивления R (см. рис. 6 ). Оно, как правило, не
ставится специально, а представляет собой сопротивление катушки и
проводов.
Рассмотрим сначала собственные колебания, полагая, что клеммы
для подключения входного сигнала замкнуты, а конденсатор заряжен в
момент времени t = 0 включён в контур. Он разряжается через катушку,
но возникающая в ней при прохождении тока ЭДС самоиндукции
замедляет этот процесс. Спустя некоторый (в действительности, очень
малый) промежуток времени конденсатор перезарядится (полярность
пластин поменяется), и ток пойдет в обратном направлении. Так возникает
колебательный режим. Из-за потерь энергии на сопротивлении колебания
будут затухать. Заметим, что здесь происходят колебания заряда
конденсатора Q(t), напряжения на конденсаторе U(t), силы тока I(t).
Запишем закон Кирхгофа (сумма падений напряжений на всех
элементах контура равна сумме ЭДС), учтя, что мы имеем ЭДС
самоиндукции, определяемую формулой
Ei   LI 
(20)
( I  - производная по времени от силы тока). Он имеет вид
IR  U   LI  .
(21)
Учтём также, что напряжение на конденсаторе связано с его зарядом
формулой U  Q / C . Следовательно,
U   I / C , I   CU  .
(22)
Поэтому продифференцировав уравнение (21), и используя (22), получим
уравнение затухающих колебаний для напряжения
U   2  U    0 U  0 ,
2
(23)
совпадающее по форме с уравнением для механических колебаний (17).
Частота собственных колебаний
и коэффициент затухания здесь
определяются формулами
 0  1 / LC ,   R / 2 L ,
(24)
а частота затухающих колебаний связана с  0 формулой (19). Отметим,
что затухание электрических колебаний обусловлено сопротивлением
контура.
8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, РЕЗОНАНСНАЯ КРИВАЯ.
Напомним, что вынужденные колебания возникают под действием
периодической внешней силы. Роль такой «силы» для электромагнитных
колебаний в контуре на рис.6 играет гармоническое напряжение v(t),
приложенное к клеммам (синусоидальный сигнал, подаваемый с
генератора). Положим, что
v (t )  a sin(t )
(25)
и запишем закон Кирхгофа, как делали выше. Только теперь ЭДС будет
складываться из ЭДС самоиндукции (20) и внешнего сигнала (25).
Используя, как и ранее, (21), (22), получим уравнение вынужденных
колебаний напряжения на конденсаторе
U   2  U    0 U   20 a sin(t ) ,
2
(26)
которое отличается от (23) только правой частью. Если входное
напряжение действует в течении времени большем времени затухания
собственных колебаний, то решением дифференциального уравнения
(26) будет колебание с частотой, равной частоте внешней силы  .
Для того, чтобы найти его амплитуду A , представим напряжение
в виде
U (t )  A cos(t   )
(27)
и (продифференцировав нужное количество раз) подставим в (26).
Косинус суммы, входящий в (27) разложим по формуле
cos(t   )  cos(t ) cos   sin(t ) sin  .
(28)
Собрав коэффициенты при cos(t ) и sin(t ) в левой части полученного
из (26) уравнения, приравниваем их к соответствующим коэффициентам в
его правой части. Чтобы иметь тождество, коэффициент при косинусе
должен равняться нулю, а при синусе амплитуду
 20 a
. Таким образом находим
a 2 40
A  2
.
2
(   0 ) 2  4 2 2
2
(29)
Отсюда следует, что амплитуда вынужденных колебаний
пропорциональна амплитуде входного сигнала (это вполне естественно),
но и существенным образом зависит от его частоты. Эта зависимость
не монотонна и имеет максимум на частоте
   p   20  2 2 ,
(30)
которую называют резонансной частотой (при малом затухании она
близка к частоте собственных колебаний) Зависимость амплитуды от
частоты (корень квадратный из выражения (29) ) называют резонансной
кривой. При этом максимальная (или резонансная) амплитуда
определяется выражением
Ap  a 0 / 2  Qa
(31)
(напомним, что Q   0 / 2  - добротность колебательной системы).
Отсюда ясно, что добротность показывает во сколько раз резонансная
амплитуда превосходит амплитуду внешней «силы». Чем меньше
затухание  , или больше добротность, тем сильнее выражен максимуму
на резонансной кривой и тем она острее (см. рис.7).
Рис.7.
Резонансные кривые. Для приведенных графиков  1   2   3 .
Резонанс, как свойство системы достаточно сильно “откликаться”
на внешнее воздействие определенной частоты, имеет место для любых
колебательных систем. Для механических колебаний это явление, как
правило, нежелательное. Например, толчки, вызванные неровностями
дороги, действуя на пружинную подвеску транспортного средства с
частотой, близкой к резонансной, могут привести к сильной тряске и
другим неприятностям.
С другой стороны, любые радиоприёмные устройства используют
это свойство для выделения нужных сигналов из всех других (например,
перестраивая радиоприемник или телевизионные каналы вы меняете
резонансные частоты определенных колебательных контуров, настраивая
их на частоту нужной программы).
9. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ, БИЕНИЯ.
Возможны ситуации, когда в системе присутствуют одновременно
два или несколько колебаний. Например, в антенне радиоприёмного
устройства присутствует огромное число различных сигналов. Они могут
иметь различные частоты и амплитуды, причем реальные сигналы,
несущие информацию, в действительности не являются гармоническими, а
имеют сложный спектральный состав (т.е. сами состоят из много
гармоник). Задача сложения таких колебаний состоящая в том, чтобы
найти результирующий сигнал, или, для механических систем, их
результирующее движение весьма сложна.
Рассмотрим
сначала
сложение колебаний одинаковой частоты, имеющих одинаковое
направление в пространстве. Пусть имеет два колебания
x1 (t )  A1 sin(t   1 ) , x2 (t )  A2 sin(t   2 ) ,
частоты которых совпадают, а амплитуды и фазы могут быть любыми.
x  x1  x2 будет гармоническим
Можно показать, что их сумма
колебанием той же частоты, амплитуда и фаза которого зависят от
амплитуд и фаз слагаемых.
Дело в том, что колебания одинаковых частот складываются по
A,
закону сложения векторных величин. Представим себе вектор
который вращается вокруг начала координат с угловой скоростью  .
При этом, если текущее значение его угла относительно горизонтальной
оси x равно
( t )  t   ,
где

- начальное значение, то проекция его на ось x равна
Ax  x (t )  A cos (t )  A cos(t   )
,
т.е. изменяется по закону гармонических колебаний. (Проекция на ось y y(t) пропорциональна синусу того же аргумента). Если имеется два таких
вектора, то при сложении, очевидно, их проекции суммируются. Это
значит, что нахождение амплитуды результирующего колебания
эквивалентно нахождению длины суммарного вектора. (см. рис. 8).
Рис. 8. Сложение векторов A  A1  A2 , или векторная
диаграмма для сложения колебаний.
Она представляет собой диагональ параллелограмма, стороны которого
есть складываемые векторы и определяется формулой
A 2  A12  A22  2 A1 A2 cos( 2   1 ) .
Используя её для сложения колебаний, под
амплитуды, а под
A1 и
(32)
A2 понимаем
 ,  2 - начальные фазы. Как следует из (32),
результирующая амплитуда существенно зависит от разности фаз
колебаний: максимальное её значение
Amax  A1  A2
будет при разнести фаз равной нулю (или кратной 2  ), такие колебания
называются синфазными. Минимальное значение
Amin  A1  A2
будет при разности фаз равной
называются противофазными.
,
или (2n + 1)  . Такие колебания
Рис. 9.
Сложение гармонических колебаний. Кривые 1, 2 складываемые колебания, 3 - их сумма. Верхняя
картинка для разности фаз    / 2 , средняя для   0 (синфазные колебания), нижняя - для
   (противофазные колебания).
Сложение колебаний одинаковых частот иллюстрирует рис.9.
Заметим, что при равенстве амплитуд противофазные колебания
полностью «гасят» друг друга.
Предположим теперь, что частоты складываемых колебаний не
равны, но их разность достаточно мала, т.е.
   2   1   1
(33)
и запишем их в виде
x1 (t )  a cost , x2 (t )  a cos(   )t .
(34)
Произведение   t в силу условия (33) можно рассматривать, как
разность фаз этих колебаний, которая достаточно медленно растет со
временем. Поэтому для амплитуды результирующего колебания можно
использовать формулу (32) с заменой
 2   1   t ,
тогда
A2  2a 2 (1  cos(  t ))  a 2 cos2 ( t / 2) ,
Таким образом, результирующая амплитуда медленно меняется со
временем по закону
A(t )  a cos(  t / 2)
.
(35)
Само колебание x(t) уже не будет гармоническим; оно представляет
собой произведение
этой амплитуды на гармоническую функцию
85 cos ( t ) . Такие колебания называются биениями (см. рис. 10).
Рис. 10.
Сложение колебаний с близкими частотами. Верхняя
картинка - осциллограммы складываемых колебаний,
нижняя - их сумма.
Период биений обратно пропорционален разности частот слагаемых
T  2 /  .
(36)
cos z в два раза меньше, чем у
Действительно, период функции
функции cos z , поэтому период функции (35) определяется формулой
(36).
Метод биений используется для нахождения неизвестной частоты
сигнала. На вход осциллографа подаётся сигнал неизвестной частоты и
сигнал лабораторного генератора, частоту которого можно изменять.
Настраивают генератор так, чтобы увидеть картинку биений и далее
плавно подстраивают в сторону увеличения их периода. При
T     0 , и мы, тем самым, настроим свой генератор на
частоту неизвестного сигнала.
10. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ.
Рассмотрим теперь сложение перпендикулярных гармонических
колебаний. В качестве механической модели можно представить груз,
закрепленный на двух расположенных перпендикулярно пружинах.
Электрические сигналы, подаваемые на входы x и y осциллографа (при
выключенной развертке) дают на экране картинку результирующей
траектории такого движения. Эта траектория в общем случае весьма
сложна; рассмотрим сначала сложение колебаний одинаковой частоты.
Предположим, что точка участвует в двух колебательных движениях и
запишем её координаты в виде
x(t )  Ax cos( t ) , y(t )  Ay cos( t   ) .
(37)
Для получения траектории движения точки из этих уравнений нужно
исключить время (в данном случае  t ). Запишем
cos( t )  x / Ax , cos( t   )  y / Ay .
(38)
Используем разложение косинуса
cos( t   )  cos( t ) cos(  )  sin( t ) sin(  ) ,
или, учтя (38),
y / Ay  x / Ax cos(  )  1  ( x / Ax ) 2 sin(  ) . (39)
Возведя
уравнение
(39)
sin (  )  cos (  )  1
2
2
x2
Ax
2

y2
Ay
2

в квадрат
и используя
, получим уравнение траектории
2 xy
cos(  )  sin (  ) .
Ax Ay
тождество
(40)
Траектория, описываемая этим уравнением, представляет собой
эллипс, повернутый в общем случае на некоторый угол относительно
координатных осей.
Рассмотрим характерные частные случаи. Пусть разность фаз
колебаний равна  / 2 . Тогда из формулы (40) получаем
x2
Ax
2

y2
Ay
2
1 .
(40a)
Это уравнение эллипса, ориентированного по координатным осям (см.
рис. 11, кривая 1). Положим теперь   0 , или    . При этом
из формулы (40) получим уравнение отрезков прямых (кривые 2, 3,
соответственно).
y
Ay
Ax
x , ( x  Ax , y  A y ) .
(40б)
Рис. 11.
Траектории движения при сложении перпендикулярных
колебаний равных частот. Для кривой 4 разность фаз  / 4 .
Если частоты складываемых колебаний не равны, то в общем случае
результирующая траектория незамкнута (точка постепенно «закрашивает»
прямоугольник со сторонами 2 Ax , 2 Ay ). Если частоты кратные, т.е.
y /x m/ n
,
где m и n - целые числа, то получаются замкнутые кривые состоящие из
пересекающихся петель, называемые фигурами Лиссажу (см. рис.12).
Рис. 12а - отношения частот 1/2 .
Рис.12б - отношение частот 3/2 .
Сложение перпендикулярных электрических колебаний, выполняемое
с помощью осциллографа, также используется для нахождения
неизвестной частоты сигнала. На вход X осциллографа подаётся
исследуемый сигнал, а на вход Y - сигнал лабораторного генератора.
Настраивают генератор так, чтобы увидеть на экране эллипс; при этом
частоты обоих сигналов совпадут, значит искомая частота определена.
11. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
1. Материальная точка совершает гармонические колебания. Период Т =
2 с, амплитуда А = 5 см . Начальная фаза равна нулю. Найти скорость
точки v в момент времени, когда её смещение x = 2.5 см .
Запишем уравнение колебаний
x  A sin(t ) ,   2 / T .
Дифференцируя, находим скорость
v  A cos(t ) .
Из первого уравнения выразим
sin(t )  x / A  1 / 2 .
Подставляя во второе и используя данные задачи, получаем значение
скорости
v  2A / T cos(1 / 2)  0,136 м/с .
2. Амплитуда колебаний за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз
она уменьшится за 3 минуты?
На основании формулы (18), для амплитуды затухающих колебаний
запишем
A(t1 )  A0 e  t1 , A(t2 )  A0 e   t2 .
Логарифмируя, находим (учтем, что t 2  3t1 ):
 t1  ln( A0 / A1 )  ln(2) ,  t 2  3  t1  3 ln(2)
Составив отношение амплитуд, получим
A2 / A0  e 3ln( 2 )  2 3  1 / 8
Амплитуда уменьшится в 8 раз.
3.Точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты с амплитудами
A1 = 3 см, A2 = 4 см. и одинаковыми начальными фазами. Найти
амплитуду результирующего колебания, если: а) - колебания в одном
направлении; б) - колебания перпендикулярны.
Используя формулу (32), где
   2   1  0 , для случая а)
находим A  A1  A2  7 см. Для случая б), используя формулу (40)
при   0 , приходим к уравнению траектории (40б)
y  A2 x / A1  4 / 3 x .
Точка наибольшего отклонения от равновесного состояния (0,0) имеет
координаты (3,4), она удалена от состояния равновесия на расстояние,
равное
32  4 2  5 см. Это и будет результирующая амплитуда A .