Определители второго и третьего порядков. Правило Крамера для СЛУ 2 – го и 3 – го порядков. Рассмотрим квадратную СЛУ с n = 2. a11 x1 a12 x 2 b1 *a (1.4) 22 * a12 a 21 x1 a 22 x 2 b2 Ia 22 IIa12 : (a11a12 a 21a12 ) x1 (a12 a 22 a 22 a12 ) x 2 b1 a 22 b2 a12 Считаем, что выражение a11a22 a12 a21 0 , тогда x1 b1a22 b2 a12 a11a22 a12 a21 x 2 рассмотрим уравнение вида: Ia21 IIa11 0x1 (a12 a21 a22 a11 ) x2 b1a21 b2 a11 a b a 21b1 (a22 a11 a12 a21 ) x2 a11b2 a21b1 , тогда x2 11 2 a11a 22 a12 a 21 Вывод: Если a11a22 a12 a21 0 , то СЛУ (1.4) – определённая. Чтобы выразить Введём обозначения: a11 a12 a 21 a 22 a11a 22 a12 a 21 Произведение элементов по главной диагонали с «+», по побочной с «-». Тогда b1a22 b2 a12 b1 a12 b2 a22 ; a11b2 a 21b1 Решение СЛУ (1.4) может быть записано в виде: Выражение вида a b ad bc c d a11 b1 a 21 b2 b1 a12 a11 b1 b a 22 a b x1 2 ; x 2 21 2 (1.5) . (Формула Крамера). a11 a12 a11 a12 a 21 a 22 a 21 a 22 называется определителем второго порядка. Крамер для СЛУ 2 – го порядка. Решим квадратную СЛУ с n = 3. a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1 x1 из 2 – го и 3 – го уравнений и решить СЛУ 2 – го порядка относительно x 2 Задача: Исключить например Множитель перед (a11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13 a13a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11 ) x1 (...) . x1 - определитель 3 – го порядка (состоит из 6 – и слагаемых) и обозначается: a11 a 21 a12 a 22 a13 a 23 a31 a32 a33 x3 , используя предыдущий результат, найти x1 , исключив, x2 . После выражения, получим: Пусть и Правило треугольников и правило дополнения. Перестановки и подстановки. Их чётность. {1,2,..., n} - множество из n – элементов (занумерованных). . n! 1* 2 * ... * n. Определение: Перестановкой степени n назовём любой упорядоченный набор элементов из Лемма: Количество переменных множества {1,2,..., n} равно , т.е. на первом шаге n способов выбора. На второе место можно поставить (n - 1) оставшихся элементов из , т.е. на втором шаге (n - 1) способов. Док-во: На первое место можно поставить любой из n элементов На третьем шаге (n - 2) способа. На n – ном шаге – 1 способ. По правилу произведения, общее число способов составить перестановку: n*(n - 1)*(n - 2)*…*1 = n! ЧТД. 1 i j n . Говорят, что в перестановке есть инверсия, если больший элемент j Пусть - перестановка, тогда N ( ) - количество инверсий в . Определение: Пусть идёт раньше меньшего элемента i. Если в перестановке чётное (нечётное) число инверсий, то перестановка называется чётной (нечётной). {1,2,..., n} элементам этого же множества. Взаимнооднозначное соответствие (биекция) – это отображения : , такое, что (i ) ( j ) , если i j , т.е. образы, при отображении Определение: Подстановка – взаимнооднозначное соответствие элементов множества элементов, различны. Любую подстановку можно задать таблицей. 1 – я строка – аргументы, 2 – я строка – образы. различных Запись 1 2 ... n . Читается: «один переходит 1 2 ... n в альфа один» и т. д. Замечание: Строка аргументов может быть записана в любом порядке. Одна и та же подстановка может иметь несколько различных записей. Главное – сохранность столбца. Подстановка называется чётной, если сумма инверсий в первой строке её записи – чётное число и наоборот. Изменение чётности при транспозиции. Определение: Если в некоторой перестановке два элемента поменять местами, а остальные не трогать, то говорят, что новая инверсия, получена из исходной транспозицией. Лемма: Транспозиция меняет чётность перестановки. Док-во: 1 – ый шаг: Считаем, что переставляемые элементы i и j стоят рядом друг с другом. (i j ) для определения. ....ij ... .... ji... и . Для всех элементов, отличных от i и j , число инверсий будет одно и то же, как в , так и в . Число инверсий, даваемое числом i пусть в N (i ) k , тогда в N (i ) k 1 , так как перед i стоит ещё и элемент j . N ( j ) в и N ( j ) в равны, так как, когда считаем число инверсий для j , элемент i уже зачёркнут, и его место неважно. N ( ) N (1) N (2) ... N (i ) ... N (n) N ( ) N (1) N (2) ... N (i ) ... N (n) N (1) N (2) ... ( N (i ) 1) ... N (n) N ( ) 1 То есть чётности чисел N ( ) и N ( ) различны, и различны по чётности. 2 – ой шаг: Пусть теперь ...ik1 k 2 ...k s j...(i j ) . Транспозиция: ... jk1 k 2 ...k s i... Эту транспозицию можно заменить последовательным Считаем число инверсий в выполнением транспозиции, рассматриваемой на 1 – ом шаге: I. (перегонка i ) i k1 , i k 2 , и т. д. 1 ...k1ik 2 ...k s j... 2 ...k1 k 2 i...k s j... Чётность сменилась (s + 1). s ...k1 k 2 ...k s ij ... s 1 ...k1 k 2 ...k s ji... II. (перегонка j ) j k s , и т. д. s 2 ...k1k 2 ...k s 1 jk s i... На II – ом этапе s – изменила чётность суммарно. 1 ... 2 s 1 . Это нч число, чётность изменилась. s 1 s ... jk1k 2 ...k s i... То есть чётности и разные. ЧТД. Возникает вопрос о корректности определения, зависит ли чётность суммарного числа инверсий от выбора записи подстановки. Любую перестановку можно получить из другой перестановки за конечное число транспозиций (продумать алгоритм). Этот переход осуществляется за k транспозиций, значит и во второй строке записи осуществляется k транспозиций. В верхней строке чётность изменится k раз. Аналогично и в нижней строке записи k раз, т.е. суммарная чётность не изменится, т.к. чётности строк либо одновременно меняются, либо нет. Определение чётности подстановки корректно. Обозначение: Пусть 1 1 1, ч sgn( ) 1, нч Операции с подстановками: произведение подстановок, обратная подстановка. Чётность произведения подстановок. 2 ... n 1 2 ... n ; 2 ... n ... 2 3 1 - подстановка, ( ) - чётность. Тогда можно определить знак подстановки: - произведение двух подстановок, т.е. подстановка из S n , рассматриваемая как сложная функция: внутренняя - , внешняя - вторую строки и получаем обратную подстановку. Знак её не меняется. Лемма: . 1 2 ... n . Свойства: S n : . 1 2 ... n 1 1 1 Обратная подстановка: Пусть S n , тогда - такая подстановка степени n, что Тождественная подстановка: , т.е. sgn( ) sgn( ) sgn( ) Это равносильно правилу умножения: 0 Ч Нч Ч Ч Нч нч нч Ч . В любой подстановке меняем местами первую и 1 2 ... n 1 2 ... 3 Док-во: Выберем записи для следующим образом: 2 ... n 1 1 2 ... n 2 ... n 1 2 ... n 1 2 ... n 1 1 2 ... n 1 2 ... n 1 2 ... n Чётность подстановки совпадает с чётностью перестановки 1 2 ... n , т.к. в первой строке записи инверсий нет. Если известны чётность подстановки и чётность первой строки 1 2 ... n её записи, то однозначно вычисляется чётность второй строки её записи 1 2 ... n . И чётность этой перестановки совпадает с чётностью произведения . Приходим к таблице вариантов: 1 2 ... n 1 2 ... n 1 ч ч ч ч ч 2 ч ч нч нч нч 3 нч нч ч нч нч 4 нч нч нч ч ч Замечание: Для подстановок степени n 3 , произведение, вообще говоря, не является коммутативным, т.е. . Определение детерминанта 1 – го порядка. Будем говорить, что матрица A имеет размеры m n , если в этой матрице m строк и n столбцов. A Mat ( m n) . Если m = n, то A – квадратная матрица порядка n. A Mat (n) . a11 a A 21 ... a n1 ... a1n ... a 2 n (3.1) ... ... ... a nn a12 a 22 ... an2 Определение: Определителем порядка n, соответствующим квадратной матрице A(3.1) (или определителем матрицы A) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; знак слагаемого совпадает со знаком подстановки, составленной из номеров строк и столбцов выбранных элементов. Обозначение: A det A 1 1 A 2 2 ... ... a11 a 21 a12 a 22 ... a1n ... a 2 n ... a n1 ... an2 ... ... ... a nn sgn 1 1 n S n n 2 1 1 2 2 1 sgn n 1 n S n ... ... n n a11 a 2 2 ... a n n ... n ... 2 ... n 2 ... a 11 a 2 2 ... a n n n Свойства определителя: неизменность при транспонировании, транспозиция двух строк определителя и следствие об определителе с двумя одинаковыми строками, умножение строки на число и следствие об определителе с двумя пропорциональными строками, сумма определителей, линейная комбинация строк и элементарные преобразования строк определителя. a12 ... a1n b11 b12 ... b1n a11 a 21 a 22 ... a n1 ... an 2 Определение: Пусть ... a 2 n (3.2) B b21 b22 ... b2 n (3.3) - преобразованный определитель. ... ... ... ... ... ... ... a nn bn1 bn 2 ... bnn A Mat (m n) . Говорят, что матрица B получена из A транспонированием, если i й столбец матрицы B совпадает с i й строкой - исходный определитель. матрицы A. B Mat (n m) . Обозначение: B t A . Если квадратная матрица B t A , то говорят, что определитель B 10 : Определитель не меняется при транспонировании. t Док-во: A : B A (3.2) : A ; (3.3) : B Свойство получен из определителя A транспонированием. bij - элемент матрицы B, то bij a ji (3.4) A (по ... n 1 2 ... n a11 a 2 2 ... an n [ai i bii ] sgn b11 b 2 2 ... b n n 1 2 ... n 1 2 ... n 1 2 ... n 1 2 ... n = [Вообще говоря, ... 1 2 ... n , но знаки этих подстановок совпадают] = 2 n 1 1 2 ... n = sgn 1 2 ... n b11 b 2 2 ... b n n B ЧТД. опр) 1 2 sgn Замечание: Свойство показывает, что строки и столбцы в определителе равнозначны. Все утверждения для строк будут справедливы для столбцов. 2 0 : Если в определителе поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак. Док-во: Определитель (3.3) B получен из (3.2) A транспонированием i й и j й строк. Свойство ai1 ai 2 ... ain a j1 a j2 ... a jn * A a j1 * a j2 * * ... a jn * B ai1 * ai 2 * * ... ain ... ... ... ... ... ... ... ... , тогда a kl , k i, k j bkl ail , k j (3.5) a ,k i jl a1 b1 1 n 1 a11 ... ai i ... a j j ... a n n ai i b j i ... j ... n a b i j j j 1 ... i ... j ... n b11 ... bi j ... b j i ... bn n sgn ... ... ... 1 i j n 1 ... i ... j ... n = [подстановка ... ... ... не соответствует индексам выбранных элементов. Она имеет вид: i j n 1 1 ... i A sgn 1 ... i ... j ... 1 ... j ... i ... n ... ... ... . Вторые строки совпадают, а в первой – транспозиция, значит чётности различны, т.е. 1 i j n 1 ... i ... j ... n 1 ... j ... i ... n sgn sgn ... ... ... ] = i j n 1 ... i ... j ... n 1 1 ... j ... i ... n b11 ... b j i ... bi j ... bn n B Итак, A B , ЧТД. sgn 1 ... i ... j ... n 0 Свойство 3 : (Следствие) Если в определителе 2 одинаковые строки, то этот определитель равен 0. Док-во: i я и j я строки равны. x1 x 2 ... x n i я A ... ... ... ... x1 x 2 ... x n j я x1 x 2 ... x n j я Получим B , поменяв местами 2 строки, т.е. B ... , т.е. с одной стороны A и B (*) совпадают, с другой стороны по второму ... ... ... x1 x 2 ... x n i я свойству B A (**) . (*), (**) A A 2 A 0. Свойство 4 : Если в определителе все элементы i й строки умножены на некоторое число k, то определитель равен исходному, умноженному на k, т.е. говорят, что общий множитель из строки можно вынести за знак определителя. 0 A исходный Док-во: A ai1 * ai 2 * ... ain ; (3.3) B kai1 * * * kai 2 * ka , m i ... kain ; bml ml (3.6) a ml , m i * * b11 a11 n 1 ... i b11 ... bi i ... bn n bi i kai i sgn ... n 1 ... i bn a n n n k sgn(...) a11 ... aii ... an n k A . Итак B k A . ЧТД. 1 ... i B sgn 1 ... i ... (kaii ) ... an n ... n a11 ... ... n ... 5 0 : Если в определителе есть две пропорциональные строчки, то определитель равен 0. Док-во: Пусть j я строка пропорциональна i й, значит существует k, такое что a jm kaim . Вынесем множитель k за знак определителя (4 – е свойство), тогда в полученном определителе будут 2 одинаковые строки: i я и j я. По 3 – му свойству он равен 0, а исходный k * 0 = 0. Свойство Свойство 6 0 : Если в определителе элементы i й строки представлены в виде aij b j c j (4.1).j 1, n , то определитель равен сумме двух определителей, все строки кроме * * ... b1 c1 b2 c2 i й, в которых такие же, как в исходном определителе, i я строка в 1 – м слагаемом состоит из b j , а во втором из c j , т.е. * * * ... ... bn cn b1 b2 ... * * * ... * ... bn c1 ... c2 ... cn ... Док-во: * ai1 * ai 2 ... sgn [a 1 S n ... * ... ain 1 sgn a 1 S n (по опр) sgn a S n 1 1 ... aii ... an n [(4.1)] ... b i ...a n n a11 ... c i ... a n n ] 1 ... c i ... a n n sgn a 1 S n * b1 * b2 ... * * ... bn c1 * c2 ... * ... c n ... ... sgn a 1 S n 1 1 ... (bi ci ) ... an n ... b i ... a n n ЧТД Замечание: Шестое свойство справедливо для 2 – х слагаемых, а значит для любого m натурального числа слагаемых. Говорят, что i я строка определителя является линейной комбинацией других строк, если найдутся числа: k1 , k 2 ,..., k i 1 , k i 1 ,..., k n , такие что aij k1a1 j k 2 a2 j ... k i 1ai 1 j k i 1ai 1 j ... k n anj , j 1, n . Или i я строка получена поэлементным сложением 1 – й, умноженной на k1 , 2 – й на k 2 , (i 1) й на k i 1 , (i 1) й на k i 1 ,..., n й на k n . Символическое обозначение: (i ) k1 (1) k 2 (2) ... k i 1 (i 1) k i 1 (i 1) ... k n (n) . Свойство Док-во: 7 0 : Если в определителе i я строка является линейной комбинацией остальных строк, то определитель равен 0. (1) * ... * * ... * * ... * (2) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A (i ) k1 (1) ... k i 1 (i 1) k i 1 (i 1) ... k n (n) ... \ ( n) ... ... ... \ * ... * ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... * ... * ... k 2 (2) ... ... ... ... ... ... \ ... \ \ \ ... [(i 1) я, i я ] ... [2 я, i я ] ... [6 0 ] ... \ k1 (1) ... \ * ... * ... ... ... ... ... ... ... \ * ... * * ... * ... ... ... \ [1 я, i я ] ... ... ... ... ... ... \ \ ... \ * ... * ... k i 1 (i 1) ... ... ... ... ... ... \ * ... * \ ... [(i 1) я, i я ] * ... * ... * ... ... ... ... ... ... ... k i 1 (i 1) ... ... ... ... ... \ \ ... \ \ ... ... ... ... ... ... ... [n я, i я ] [5 0 ] 0 0 ... 0 0[n 1слаг ] k n ( n) ... \ ... ... ... ... ... ... \ \ ... \ 8 0 (следствие): Если к i й строке прибавить линейную комбинацию остальных строк, то определитель не изменится. B (3.3); A (3.2) Свойство Док-во: B A получен из прибавлением к i й строке линейной комбинации остальных, т.е. (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) ... ... ... ... B [6 0 ] 0 A 0 A (i ) (i [k1 (1) k 2 (2) ... k i 1 (i 1) k i 1 (i 1) ... k n (n)]) (i ) [7 ] A ( n) Пусть ... ... ... ( n) ( n) ( n) ЧТД. Миноры и алгебраические дополнения. A Mat (m n) , пусть 1 k min{ m, n} , выберем произвольно k строк и k столбцов в матрице A. На их пересечении получим квадратную матрицу порядка k. Определитель полученной матрицы называется минором порядка k матрицы A. Если A Mat (n) , т.е. квадратная, то любой её минор является минором её определителя. Определение: Пусть M – минор k – го порядка в определителе n – ного порядка A , k n. Вычеркнем из определителя строки и столбцы, выбранные при построении минора M, тогда останется квадратная матрица порядка ( n – k ). Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору M. Обозначается M . Очевидно, что дополнительным к дополнительному минору является исходный минор. Пусть минор M стоит на пересечении строк с номерами i1 , i 2 ,..., i k со столбцами с номерами j1 , j 2 ,..., j k . S M - сумма номеров выбранных строк и столбцов. S M (i1 i2 ... ik ) ( j1 j 2 ... j k ) . AM (1) S M M . Теорема о разложении определителя по строке. A равен сумме произведений элементов i й строки на их алгебраические дополнения, т.е. A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain . Определение: Алгебраическим дополнением минора M называется число Определитель n A aij Aij (4.2) j 1 Док-во: 1 – й шаг (частный случай): Пусть в n ной строке A все элементы a nj 0 для j 1,2,..., (n 1) и a nn может быть отлично от 0. A a11 a12 a( n 1)1 0 a( n 1) 2 0 только тогда, когда 1 a nn 1 ... ... a1n ... a( n 1) n 0 a nn 1 2 sgn 1 2 ... n 1 ... n 1 n a a ... a( n 1) n 1 a n n [ненулевые слагаемые n 11 2 2 1 ... n 1 a nj 0 , если j n ] sgn 1 ... n1 ... n 1 n 1 ... a11 ... a( n1) n 1 [подстановки ... n1 n 1 ... n n, т.е. n a11 ... a( n1) n 1 a nn n n 1 1 ... n 1 n ; n1 1 ... n1 n 1 ... n 1 a11 ... a( n1) n 1 a nn M , где M ann sgn 1 ... n1 последних строки и столбца, т.е. M - дополнительный минор к a nn . знаки их совпадают] Итак, имеют разные степени, но - определитель, полученный из A вычёркиванием A a nn M Сравним с (4.2) для i n : A an1 An1 an 2 An 2 ... ann1 Ann1 ann Ann ann (1) n n M ann (1) 2 n M ann M . Чтд. 2 – й шаг: * Пусть в * * ... * i й строке только a ij , возможно, не равен 0, а остальные элементы нулевые. A 0 I этап: Меняем i ю строку с (i 1) - й, затем 0 aij ... 0 ... (i 1) ю с (i 2) й, и т. д., до тех пор, пока (n 1) ю не поменяем с n – й строкой. При каждой транспозиции определитель меняет знак. Всего произведено (n - i) транспозиций, значит II этап: Меняем местами столбцы до (n 1) го с n – ным. Всего (n j ) A (1) транспозиций столбцов. n i * * * 0 0 aij A (1) n i (1) n j ... * ... ... 0 M ... 0 0 0 aij описанных преобразованиях, порядок и расположение всех элементов в дополнительном миноре не изменился, значит в верхнем левом углу стоит A (1) ( n i ) ( n j ) M ... 0 0 aij (1) 2 n (i j ) B (1) ( i j ) B = [чётность i j и ( j j) совпадают] M . При . (1) i j B [шаг первый] (1) i j aij M aij (( 1) i j M ) aij Aij . Сравнивая с (4.2), n 0, k j A aik Aik [aik ] aij Aij , получим, что (4.2) доказано и в этом частном случае. Чтд. k 1 aij , k j 3 – й шаг (общий случай): ... ai1 ai1 0 ... 0 A ai1 ai 2 ... ain ai 2 0 ai 2 ... 0 ai1 0 ... 0 0 ai 2 ... 0 ... 0 0 ... ain [6 0 ] ain 0 0 ... ain \ \ ... \ \ \ ... \ ЧТД. ... ... ... a i1 0 ... 0 0 ai 2 ... 0 ... 0 0 ... ain [2 й _ шаг ] ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain \ \ ... \ \ \ ... \ \ \ ... \ Разложение нуля с помощью двух строк определителя. Сумма произведения элементов i й строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равно 0, т.е. ai1 Ak 1 ai 2 Ak 2 ... ain Akn 0 a ij Akj 0, i k. Док-во: Пусть дан т.е. в ... B A . Рассмотрим новый определитель B i – я и k – я строки равны. . Все строки в B , кроме k – й такие же, как в A , а k – я строка в B совпадает с i – й строкой в A, ai1 B * ai1 \ ... ... ain ... * [По 3 – му свойству B ... ain ... \ n n j 1 j 1 = 0. Разложим B по k – й строке ] bkj akj bk1 Bk1 bk 2 Bk 2 ... bkn Bkn Bkj Akj aij Akj aij Akj 0 ЧТД. A,i k ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ... ain Akn (5.1) 0, i k Теорема Лапласа (без док-ва). Обобщением теоремы о разложении определителя по строке является теорема Лапласа: Пусть в определителе n – ного порядка выбраны произвольно k строк (1 k n) . Тогда определитель равен сумме произведений миноров, построенных на A M k Ak Вычисление треугольных и клеточно-диагональных определителей. выбранных строках, на их алгебраические дополнения, т.е. Определитель имеет порядок k + n. Считаем, что на пересечении первых k строк и первых k столбцов стоит матрица A. На пересечении последних n строк и n столбцов стоит матрица B. На пересечении последних n строк и первых k столбцов стоит матрица, состоящая из нулей. k A C n0 B - блочно-треугольный определитель. Применяем теорему Лапласа: Выбираем последние n строк, т.е. in k n in 1 k n 1 ... i1 k 1 т.к. - номера выбранных строк. На последних n строках стоит единственный ненулевой определитель, соответствующий номеру: j1 k 1 j2 k 2 , ... jn k n j k , то выбранный столбец равен 0, M k 0 . Итак Итак, M n B . Найдём An (1)[( k n)( k n1)... ( k 1)][( k 1)( k 2)... ( k n)] A A . A C AB 0 B Вывод формул Крамера для решения квадратных систем линейных уравнений. Рассмотрим СЛУ n – ного порядка. Определитель основной матрицы не равен 0. a11 a12 ... a1n a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b a a 22 ... a 2 n 21 1 22 2 2n n 2 ; 21 0 ... ... ... ... ... a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn a n1 a n 22 ... a nn Рассмотрим уравнение, полученное по правилу IA11 IIA21 ... (n) An1 x1 (a11 A11 a 21 A21 ... a n1 An1 ) x2 (a12 A11 a 22 A21 ... a n 2 An1 ) ... xn (a1n A11 a 2 n A21 ... a nn An1 ) b1 A11 b2 A21 ... bn An1 Если ( x1 ,..., x n ) являлись решением (5.2), то они являются решениями выписанного уравнения. Коэффициенты при: n x1 : a i1 Ai1 = [разложение дельта по первому столбцу] = i 1 n x 2 : ai 2 Ai1 0 , т.к. элементы второго столбца умножаются на алгебраическое дополнение первого столбца. i 1 n x3 : a i 3 Ai1 0 . Смотри (5.1) для столбцов. i 1 n x n : ain Ain 0 i 1 Т.е. левая часть нового уравнения имеет вид x1 . Правая часть (обозначим её 1 ): 1 b1 A11 b2 A21 ... bn An1 = [разложим по столбцам] = b1 b2 a12 a 22 ... a1n ... a 2 n ... bn ... an2 ... ... ... a nn . Вместо I – го столбца дельта подставляем столбец свободных членов. x1 1 , 0 Окончательно уравнение имеет вид: x1 xj Аналогично для любой переменной 1 - определена однозначно. получаем из уравнений (5.2) новое уравнение по правилу: IA1 j IIA2 j ... (n) Anj . Множители – алгебраические дополнения первого столбца. n n n n n i 1 i 1 i 1 x1 ( ai1 Aij )[ 0] x 2 ( ai 2 Aij )[ 0] ... x j ( aij Aij )[ ] ... x n ( ain Aij )[ 0] bi Aij [ j ] i 1 j i 1 получается из заменой j - ого столбца на столбец свободных членов. x j j Окончательно: xj j . Итак, все компоненты решения x1 , x2 ,..., x n определяются однозначно, значит система является определённой.. Доказана теорема (Метод Крамера). Система n – ного порядка (5.2), определитель основной матрицы которой не равен 0, является определённой и решение находится по формулам Крамера: xj j (5.3); j 1, n , где j получается из заменой j ого столбца столбцом свободных членов.