8.1 Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.

Лекция №8
8.1 Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.
8.2 Вывод формул для нормальных напряжений в поперечных сечениях
8.3 Связь между изгибающим моментом и кривизной элемента стержня.
8.4 Чистый плоский изгиб, нормальные напряжения.
8.1 Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.
Рассмотрим задачу определения нормальных напряжений  x в
произвольной точке К поперечного сечения прямого стержня в общем случае
его нагружения (рис. 8.1). Наряду с напряжение  x на площадках
параллельных оси стержня развиваются напряжения  y ,  z . Однако опыт
показывает, что на основной части длины стержня эти напряжения, как
правило, бывают значительно меньше напряжений  x . Поэтому в
расчетной модели стержня пренебрегаем влиянием напряжений  y ,  z на
деформацию элемента, т.е. в формуле обобщенного закона Гука для  x
получаем:
z  0
(8.1)
 y 0
1

 x  ( x   ( y   z ))
x  x
E
E
Рис. 8.1 Напряжения  y ,  z малы по сравнению с  x
Рис. 8.2 Иллюстрация к гипотезе плоских сечений
Допущение (8.1) называют гипотезой о ненадавливании продольных волокон:
волокна стержня, параллельные его оси, испытывают деформацию
растяжения – сжатия в продольном направлении и не оказывают давления
друг на друга в поперечном направлении.
Вторая важнейшая гипотеза о характере деформирования модели
стержня это гипотеза плоских сечений (рис. 8.2):
поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются
плоскими и перпендикулярными искривленной оси балки после
деформации.
Это положение позволяет рассматривать поперечное сечение
стержня как бесконечно тонкое плоское тело (жесткая пластика),
имеющее в отношении перемещений конечное число степеней свободы.
На рис.8.3, а-в показаны три характерных перемещения сечения (с
координатой x): продольное поступательное перемещение wC и два
поворота на углы  z , y .
Рис. 8.3 Три независимых перемещения плоского сечения и перемещение
точки К от поворота на угол  z
На рис. 8.3, г показана проекция сечения, повернутого на угол  z при
взгляде на сечение вдоль оси z. Произвольная точка К, имеющая координату
y >0, получит отрицательное перемещение   z y ( sin(  z )   z ), так как
это перемещение противоположно оси x. Суммарное перемещение
произвольной точки К определится по формуле:
(8.2)
w  wc   z y   y z
Формула (8.2) есть математическое выражение гипотезы плоских
сечений. На рис. 8.4, а представлена модель стержня, иллюстрирующая
гипотезу ненадавливания продольных волокон и гипотезу плоских сечений.
Рис. 8.4 Модель стержня
Модель представляет набор жестких пластинок – «поперечных сечений»,
пространство между которыми заполнено «продольными волокнами»,
условно изображенными в виде упругих пружин. Деформация растяжения
– сжатия продольных волокон происходит за счет относительного
перемещения и поворота соседних сечений (рис 8.4, б ).
8.2 Вывод формул для нормальных напряжений в поперечных сечениях
Пусть в рассматриваемом сечении известны усилия: N , M z , M y .
Выразим через них напряжения  x . С учетом формул (8.1), (8.2), (2.12)
получим:
(8.3)
d y
dw
d
dw
 x  E x  E
 E( C  z y 
z)
dx
dx
dx
dx
Обозначим для данного сечения постоянные:
(8.4)
d
d y
dw
 E z  С2 ;
E C  С1 ;
E
 С3 .
dx
dx
dx
Перепишем (8.3) с учетом обозначений (8.4)
 x  C1  C 2 y  C3 z
(8.5)
Формула (8.5) показывает, что  x изменяется по закону плоскости,
определяемой тремя константами: C1 , C 2 , C 3 . Для определения констант
необходимо потребовать, чтобы  x приводились к трем силовым факторам
(см. формулы 1.2)
(8.6)
N    xdA
M z   y xdA
M y   z xdA
A
A
A
Формулы (8.6) следуют из рис. 8.4
Рис. 8.4 Напряжения  x в поперечном сечении распределены по линейному
закону
Подставляем последовательно выражение для напряжений(8.5) в
формулы (8.6) . В результате получим:
N  C1  dA  C 2  ydA  C3  zdA
A
A
A
2
M z  C1  ydA  C 2  y dA  C3  yzdA
A
A
A
(8.7)
M y  C1  zdA  C 2  zydA  C 3  z 2 dA
A
A
A
С учетом выражений для геометрических характеристик поперечных
сечений получим:
C1 A  C 2 S z  C3 S y  N ;
(8.8)
C S C J C J  M ;
1 z
2 z
3 zy
z
C1S y  C2 J zy  C3 J y  M y .
В уравнениях (8.8) введены следующие обозначения: площадь и статические
моменты площади относительно осей z и y
(8.9)
A=  dA ;
S z   ydA ;
S y   zdA ;
A
A
осевые и центробежный моменты инерции
2
J y   z 2 dA ;
J z  y dA ;

A
A
A
J zy   zydA .
(8.10)
A
Будем считать, что оси z,y главные центральные оси, тогда
S z  0, S y  0, J zy  0 .
(8.11)
В результате система (8.8) распадается на три независимых уравнения, из
которых находим:
(8.12)
M
N
My
C1 
C2  z
C3 
A
Jz
Jy
Подстановка выражений (8.12) в формулу (8.5) дает общую формулу для
нормальных напряжений
(8.13)
M
N M
 x   z y+ y z
Jy
A Jz
Плоскости z-x, y-x, содержащие ось стержня и одну из главных осей
сечения, называются главными плоскостями изгиба стержня.
В формуле (8.13) растягивающая продольная сила N положительна,
изгибающие моменты M z, M y также положительны, если они в точке,
принадлежащей первой четверти осей координат (где z>0,y>0),
вызывают растягивающие напряжения (см.рис.8.4).
8.3 Связь между изгибающим моментом и кривизной элемента стержня.
Подставим значения констант C1 , C 2 , C 3 (8.12) в формулы (8.4), в
результате получим:
d z
M
(8.14)
dwC
d y
My
N
 z ;

;

.
dx
EJ z
dx
EA
dx
EJ y
Соотношения (8.14) используются для определения перемещений
сечений стержня при растяжении - сжатии и изгибе (EA-жесткость при
растяжении-сжатии; EJ z , EJ y -жесткости сечения при изгибе).
Рассмотрим рис. 8.5. Учитывая, что dx  ds   z d z получим:
d z
Mz
1
d y
My
1




y  

z
dx
z
EJ z
EJ y
dx
y
Здесь  z 
1
z
,y 
1
y
(8.15)
- кривизны элемента стержня.
Рис. 8.5 К определению связи кривизны элемента и изгибающего
момента
Запишем соотношение между радиусом кривизны  z и
относительным удлинением  z произвольного продольного волокна
балки с координатой y (аналогично для  y )
ds   z d z ,
ds  yd z ,
x 
y
z
;
y 
z
y
.
(8.16)
8.4 Чистый плоский изгиб, нормальные напряжения.
Пусть во всех поперечных сечениях стержня N=0; My=0; M z 0 и
стержень изгибается в главной плоскости xy . Изгиб в этой плоскости
называется плоским изгибом.
Пусть на участке стержня M z const . Такой случай нагружения
стержня называется чистым плоским изгибом (ЧПИ). В соответствии с
формулой (8.13) получим
M
(8.17)
x  z y
Jz
Рис. 8.6 Изгиб в главной плоскости xy . Сечение поворачивается вокруг
нейтральной линии
По высоте сечения имеем две зоны – растяжения и сжатия, их
разделяет нейтральный слой, продольные волокна которого искривляются,
но не меняют свой длины. Линия пересечения нейтрального слоя и
плоскости поперечного сечения (n-n) называется нейтральной линией
(совпадает с осью z).
Рис. 8.7 За счет действия поперечных сил сечения искривляются. При чистом
изгибе сечения остаются плоскими.