08-14-02

08-14-02. Замена неизвестных
1. Рассмотрим систему
4
2
2 x  3 y  275
 4
2
3x  2 y  210
Эта система не является линейной относительно неизвестных x и y . Однако, если
обозначить выражение x 4 через z , выражение y 2 через t , то получится система
2 z  3t  275

3z  2t  210
Новая система является системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными z
и t . Поэтому ее нетрудно решить и найти пару чисел z  16 , t  81 , при подстановке
которых в уравнения последней системы получаются верные равенства.
Следовательно, для любой пары чисел ( x y ) , удовлетворяющей исходной системе,
мы нашли значения x 4  16 и y 2  81 . Отсюда получается, что неизвестная x может
принимать только два значения 2 и -2, а неизвестная y может тоже принимать только
два значения 9 и -9. При этом для каждого выбора одного из возможных значений для x
и одного из возможных значений для y получаем решение исходной системы, потому
что тогда для каждого из четырех вариантов выполняются равенства:
z  x 4  16
t  y 2  9
2 z  3t  2 x 4  3 y 2  275
3z  2t  3x 4  2 y 2  210
Следовательно, исходная система имеет четыре решения:
(-2;-9), (-2;9), (2;-9), (2;9).
2. Решая в предыдущем пункте систему уравнений, мы заменили некоторые
выражения, содержащие неизвестные x и y , новыми неизвестными z и t . Тем самым
мы выполнили замену неизвестных. Иногда в этом случае говорят, что произведена
замена переменных.
В результате замены неизвестных была получена система знакомого вида, которую
удалось решить и получить пару значений новых неизвестных z  16 и t  81 . Тем
самым для неизвестных x и y получилась новая система уравнений
 x 4  16
 2
 y  81
Последняя система проще исходной. Решив эту систему, мы тем самым, получили
решения исходной системы.
Таким образом, иногда замена неизвестных позволяет сводить решение сложных
систем уравнений к более простым системам уравнений.
3. Рассмотрим несколько примеров решения систем уравнений методом замены
неизвестных.
Пример 1. Решим систему
 xy  x  y  3
 x y 1
 xy  2 
Решение. Система определена при x   0 и y  0 .
Обозначим xy  a , x  y  b . Тогда система запишется в виде
a  b  3
a 1
b  2 
Из второго уравнения системы получаем a  2b . Подставляя найденное для a
выражение в первое уравнение системы, получаем 2b  b  3 , откуда b  1 . Значит,
a  2b  2 . Тем самым для неизвестных x и y можно записать новую систему
уравнений:
 xy  2

 x  y  1
Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения получаем
x  1  y . Подставляя в первое уравнение систему, приходим к уравнению (1  y ) y  2 ,
y 2  y  2  0 . Решим квадратное уравнение относительно y .
Дискриминант этого уравнения D   (1)2  4 1 (2)  9 .
Отсюда y1  123  1 , y2  123   2 .
Соответственно x1  1  y1  2 , x2  1   y2  1 . Найденные пары значений (2;1) и (1;-2) входят в область определения начальной системы.
Ответ: (2;1) и (-1;-2).
4.* При решении некоторых систем уравнений путем умножения обоих частей
уравнений на одно и то же число, почленного сложения и вычитания уравнений системы
удается получать простые соотношения между неизвестными.
Пример 2. Решим систему
 x 2  y 2  20

 xy  10
Решение. Умножив второе уравнение системы на 2, получим 2 xy  20 . После этого
вычитая почленно из уравнения x 2   y 2  20 уравнение 2 xy  20 , приходим к
равенству x 2  2 xy  y 2  0 или ( x   y )2  0 . Почленно складывая уравнение
x 2  y 2  20 с уравнением 2 xy  20 , приходим к равенству x 2  2 xy  y 2  40 или
( x  y)2  40 . Следовательно, данная система уравнений равносильна системе
2
( x  y )  40

2
( x  y )  0
Если обозначим x  y  z , x  y  t , то получим систему
 z 2  40
2
t  0
Найти решение этой систему нетрудно: (2 10  0) и (2 10  0) .
После этого остается решить две системы.
I.
 x  y  2 10 

 x  y
2 x  2 10  x  y  0 x  10  y  10.
II.
 x  y  2 10 

 x  y
2 x  2 10  x  y  0 x   10  y   10 
Ответ: ( 10  10) , ( 10  10) .
5.* Понятие симметрического выражения от переменных x и y.
Выражение с переменными x и y называется симметрическим, если при замене
переменной x на переменную y , а переменной y на переменную x получается
выражение, тождественно равное начальному выражению.
Пример 3. Выражение x 4  y 4 при перестановке переменных x и y обращается в
выражение y 4  x 4 , которое тождественно равно x 4  y 4 . Поэтому выражение x 4  y 4
является симметрическим относительно переменных x и y .
Пример 4. Выражение x 2  xy  y 2 при перестановке x и y обращается в выражение
y 2  yx  x 2 . Равенство y 2  yx  x 2   x 2  xy  y 2 не является тождеством, а поэтому
выражение x 2  xy  y 2 не является симметрическим относительно переменных x и y .
6. Система двух уравнений с двумя неизвестными имеет симметрический вид, если
каждое из уравнений системы представляет из себя равенство двух симметрических
выражений.
При решении симметрических систем с неизвестными x и y удобно производить
замену неизвестных, обозначая выражения x  y и xy новыми неизвестными.
Пример 5. Решим симметрическую систему
 xy ( x  y )  6
 3
3
 x  y  9
Решение. Обозначим x  y  a , xy  b . Тогда
xy ( x  y )  ab ,
x 3  y 3  ( x  y )( x 2  xy  y 2 ) 
 ( x  y )( x 2  2 xy  y 2  3xy )  ( x  y )(( x  y )2  3xy )  a(a 2  3b) .
Следовательно, система запишется в виде
ab  6
 2
a(a  3b)  9
Из второго уравнения получаем a 3  9  3ab  9  3  6  27  9  3ab  9  3  6  27 . Из
равенства a 3  27  33 следует равенство a  3 .
Подставляя это значение a в первое уравнение системы, получаем 3b  6 , b  2 .
После этого остается записать равенства a  x  y  3 , b  xy  2 и решить систему
 x  y  3

 xy  2
С помощью теоремы Виета получаем y  3  x , xy  x(3  x)  2 , x 2  3x  2  0 , x1  1 ,
x2  2 .
Соответственно, y1  3  x1  2 , y2  3  x2  1 .
Ответ: (1;2) (21)
Задачи и упражнения
1. Решить системы уравнений:

 x 2  y 2  13
 x 2  y 2  10
 x  y  7
1) 
2) 
3) 
 xy  6
 xy  3

 xy  6
3
5
1
1
 x
1
1
2
y
 y x 
 x  y  4 
 x  y  3 
4) 
2 5)  1 1 5 6)  2
2
  
 x  y  40



 x2 y2 16
x

y

25


 2 x 23 y  4 x3 y  8

7)  5
3

 2 x 3 y  4 x  y  0
 x 1y 1  3 x 22 y 3  2
8)  3
4

 x  y 1  3 x 2 y 3  5
2. Решить системы уравнений

 xy ( x  y )  30
 x  y  5
1) 
2)  3
3
 x  y  35

 x  y  xy  7
3. Решить системы уравнений:
2
 x22  y2  2
 x 2  y 2  34
a
b
1) 
2) 
bx  ay
 x  y  xy  23
 bx  ay  53 
 xy2  yx  12
 xy  x  y  11
3)  2
4) 
2
1
1
1
 x y  xy  30
 x  y  3 
4. Решить системы уравнений:
 x 2  y 2  25
2)  3
3
 x  y  91
2
 x 2  y 2  x  y
 x 2  y 2  1
1)  5
2)  4
4
2
5
1
 x  y  1
 x  y  2 ( x  y ) 
5. Решить системы уравнений:
2
x3

 x(1  xy )  a
 y  xy  a 
1) 
2)  3
y
y
2
 y (1  x )  b

 x  xy  b 
6. Периметр прямоугольного треугольника равен 2 p , а его площадь равна s . Найдите
стороны треугольника.
7. Два пешехода вышли одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу.
Когда первый прошел половину пути до пункта B , второму осталось пройти 24 км до
пункта A , а когда второй прошел половину пути до пункта A , первому осталось пройти
15 км до пункта B . Сколько километров остается пройти второму пешеходу в момент,
когда первый закончит переход?
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 2 б). Указание. Воспользоваться тождеством x3  y 3  ( x  y)3  3xy( x  y ) .
Задача 3  . Указания. а) Второе из уравнений сводится к линейному.
б) Выполнить замену неизвестных: x  y  a , xy  b .
в) Если заменить неизвестные, обозначив x  y  a , xy  b , то относительно
неизвестной a можно получить кубическое уравнение, которое имеет корень a  7 .
г) Выполнить замену неизвестных: x  y  a , xy  b .
д) Следствием системы является уравнение x3  y 3  36( x  y) , откуда либо
x  y  0 , либо x 2  y 2  xy  36 .
Задача 4. Указания. а) Прежде всего, система не может иметь действительных
решений, где хотя бы одно из неизвестных отрицательно. В самом деле, если
предположить, что x  0 , то из второго уравнения следует, что y  1 . Но тогда y 2  1 и
x 2  y 2  1, что противоречит первому уравнению.
Далее, 0  x  1 , 0  y  1 также не могут появиться в решениях, потому что тогда
5
x  x 2 , y 5  y 2 , откуда x5  y 5  x 2  y 2  1 , что противоречит второму уравнению.
Остается перебрать значения 0 и 1 и получить два очевидных решения.
б) Следствием системы является уравнение ( x 2  y 2 )2  0 , что ophbndhr к перебору
систем простого вида.
Задача 5. Указания. а) Следствием системы является уравнение
б) Следствием системы является уравнение
 
x
y
2

a2
b2
 
x
y
2
 ba .
.
Задача 7. Указания. Обозначим через S (км) расстояние между пунктами A и B ,
через U (км/час), V (км/час) скорости первого и второго пешехода. Тогда из условия
SV
SU
задачи
составляются
уравнения:
2U  24  S ,
2V 
U
15  S . Из этой системы удается найти значение S и значение V .