Document 1007308

Б.Рысбайулы, д.ф.-м.н.,
Казахстанско-Британский Технический университет
(Казахстан, 050000, Алматы, ул. Толе би, 59
тел.(8-727) 2720489, Е-mail: b.rysbaiuly@mail.ru )
А.Т. Байманкулов, к.э.н.
Костанайский госуниверситет
(Казахстан, 110000, Костанай,
тел.(8-7142) 511193, Е-mail: ismar_74@mail.ru )
Определение термоградиентного коэффициента
однородного грунта
Аннотация. Рассматривается распространения тепла и влаги в однородном грунте.
Предлагается итерационный метод для определения термоградиентного коэффициента и
доказывается сходимость итерационного процесса.
1. Постановка задачи.
Поток
влаги
и
коэффициенты
в л а г о п р о в о д н о сти.
Конвективный перенос тепла в грунте осуществляется водой или воздухом.
Передвижение воды в многослойном грунте может происходить как в жидкой, так
и в парообразной форме. Парообразный механизм передвижение воды вызывает
интерес только тогда, когда он сопровождается испарением и конденсацией влаги. В
противном случае поток пара в одном направлении компенсируется потоком
воздуха в обратном, и перенос тепла в грунте практически отсутствует.
Передвижение влаги может осуществляться в грунте или в результате
фильтрации (т. е. под воздействием гравитационных сил), или в результате миграции
(т. е. под воздействием «внутренних» сил, возникающих в самом грунте на поверхностях раздела вода — воздух, вода — минеральный скелет), или тем и другим
путем одновременно. Мартынов Г.А., Глобус А.М. /1,2/ и другие ученые доказали,
что механизм движения в обоих случаях совершенно одинаков, хотя силы,
вызывающие его, различны. В настоящей работе описывается один метод с помощью,
которой определяется термоградиентный коэффициент однородного грунта. Анализ
существующих методов определения термоградиентного коэффициента и их точности
приведена в работе /3/. Итерационные методы решения обратных задач основательно
изучается в монографий /4/. Методы решения прямой задачи распределения влаги и
температуры описывается в работе /5/, а решение некоторой обратной задачи
распространения тепла изучены в работах /6,7/.
Система дифференциальных уравнений описывающие конвективное
распространение влаги и тепла в однородной среде записывается в виде


   
 


 t z  z 

 0  z  H,

       



 k

t  z  z   z   z 
 0C
(1)
где C — коэффициент теплоемкости,  — коэффициент теплопроводности,  —
коэффициент влагопроводности,  0 -удельная масса грунта.  -– термоградиентный
коэффициент.
На
поверхности земли с воздухом справедливо закон сохранения
энергий

    Tb  z  H  0
z z  H
Для того чтобы определить коэффициент теплопроводности однородного грунта
дополнительно задается температура на поверхности земли

 H , t   1 t , 0  t  T
С учетом этого равенство условие на поверхности земли записывается в виде


z
zH
  1 (t )  Tb  z H  0
(2)
Где  -коэффициент теплоотдачи грунта в окружающую среду,
êêàë / ì 2 * ÷àñ* ãðàä .
Установлено, что на определенной глубине земли температура грунта остается
постоянной величиной. Используя этот факт, ставится граничное условие


 0, t   T1  const
(3)
Отметим, что ось Oz направлено вертикально вверх. В начальный момент
времени, при t  0 распределение температуры в грунте задается, т.е.
 z,0   0 ( z ), 0  z  H
(4)
На поверхности земли и на глубине z  H ставятся граничные условия для влаги

 A(t ),  z 0   2
z z  H
Кроме этого в начальный момент
распределения температуры и влаги
 0, z    0 ( x),  0, z   0 ( z )
(5)
времени
t  0 считается
известным
(6)
2. Сопряженная задача
Приближенное значение термоградиентного коэффициента определяется
итерационным методом. Пусть задано  n . Следующее приближение определяется
из минимума функционала
T
J ( )    ( H , t ,  )  1 (t ) dt .
2
0
Для последовательных значений термоградиентного коэффициента  n ,  n1
справедливо второе уравнение системы (1)
 n1
   n1   
 
 
 

 k n1

t
z
z   z 
z
 n
   n


t
 z  z
  
 
 
 k n

z
 z
Отнимая друг от друга полученных дифференциальных уравнений для разности
   n 1   n получим уравнение

     

 n1 
 k n


 k


t
 z  z   z 
z
z 
(7)
Умножим (7) на произвольную функцию  z, t  и интегрируем по области
Q  0, H   0, T  . После однократного интегрирования по частям получим
H
H
HT
0
0
0 0
 z, T z, T dz   z,0z,0dz    

dzdt 
t
zH
zH
T H
T


 

 n 1 

 
dt    k
dzdt    k n
 k
dzdt 
z z 0
z z
z
z  z 0

0
0 0
0
T
 
 n1 
   k n
dzdt    k
dzdt
z  z
z z
0 0
0 0
T H
T H
Полагаем, что
 z, T   0,  0, t   0
и еще раз, интегрируя по частям, получим равенство


   dzdt   k
t
z
0 0
0
HT
T
T
  n k
0

z
zH
z 0
zH
z 0
   
 n1 
     k
dzdt 
dzdt    k

z

z

z

z


0 0
0 0
T H
T H
  

dt      k n
dzdt
z  z 

0 0
T H
Если положим

   

  k
  0 и k
z z 
z 
z
 2 H , t   1 (t )  ,
zH
то получится равенство
 n1 
  

dzdt     k n
dzdt
z z
z  z 

0
0 0
0 0
В ходе изложения получили сопряженную задачу
T
T H
T H
2  H , t  H , t   1 (t ) dt    k

   
  k
0
z z 
z 
 z, T   0,  0, t   0 k

z
(8)
 2 H , t   1 (t )
zH
3. Минимизирующий функционал
Значение термоградиентного коэффициента определяется из минимума
функционала
T
J      H , t   1 (t )  dt
2
0
Рассуждая так же, как в работе /6/ получим равенство
T
T H
J  n1   J  n      dt    k
2
0
0 0
 n1 
  

dzdt     k n
dzdt
z z
z  z 

0 0
T H
Первое и третье слагаемое в правой части знака равенство на основе является
достаточно малые величины второго порядка. Поэтому получим равенство
HT
J 
k
0 0
 
dzdt
z z
HT
и
n1  n     k
0 0
 
dzdt
z z
4. Алгоритм решения задачи
4.1.Задается начальное приближение термоградиентного коэффициента  n

4.2. Решается прямая задача (1)-(6) и определяются
и  H, t  .
z

4.3. Решается сопряженная задача (8) и определяется
.
z
4.4. Определяется следующее приближение  n1
5. Доказанные теоремы
Теорема 1. Если 1 (t ), A(t ), Tb (t )  C1 0, T  и 0 ( z ), 0 ( z )  L0, H  , то для решения
задачи (1)-(6) справедливо оценка
max 
n 2
t
2
 n
n
dt  C1  
z
T

0
max max  z, t   M  
t
z
Теорема 2. Если 1 (t ), A(t ), Tb (t )  C1 0, T  и 0 ( z ), 0 ( z )  L0, H  , то для решения
задачи (8) справедливо оценка
H
max   2dz 
t
0
1
  
k 
 dzdt  C2 .


2 0 0  z 
T H
2
Теорема 3. Если имеют место теоремы 1 и теоремы 2, то
J    C3 .
Теорема 4. Последовательность n  сходится к одному пределу и ограничено
сверху и снизу положительной константой.
Список литературы
1
Мартынов Г.А. Тепло - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах.
Основы геокриологии (мерзлотоведения). – М.: 1959, под. ред. Н.А. Цытович. гл. VI стр. 153-192
2
Глобус А.М. Физика неизотермического внутрипочвенного влагообмена. –Л.,
Гидрометиздат, 1983, 279 с.
3
Чистотинов Л.В. Миграция влаги в промерзающих неводонасыщенных грунтах. –
М., Наука, 1973, 145 с.
4
Кабахихин С.И., Бектемисов М.А., Нурсейтова А.Т. Итерационные методы
решения обратных некорректных задач с данными на части границы.- Алматы-Новосибирск:
Типография «TST-company»,426 с.
5 Адамов А.А., Рысбайұлы Б. Алгоритм численного решения задачи переноса тепла и
влаги // Евразийский математический журнал . 2007, -№3. –С.19-25.
6
Рысбайулы Б., Байманкулов А.Т., Маханбетова Г.И. Обратная задача кондуктивного
распространения тепла в однородной среде // Вестник НАН РК, 2008, №1, ст. 11-13.
7
Рысбайулы Б., Байманкулов А.Т., Исмайлов А.О. Разностный метод определение
коэффициента теплопроводности грунта в процессе промерзаний// Вестник НАН РК. 2008.
-№2. - С. 7-9