СД.Ф.1.МатематическаяЛогика+

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
Математическая логика
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальностям:
050202
050202
Информатика (СД.Ф.1)
Информатика с доп.спец. «Математика» (СД.Ф.1)
050708
050708
ПиМНО с доп. спец. «Информатика» (ДДС.Ф.1)
ПиМНО со специализацией (ДС.5)
050502
Технология и предпринимательство со специализацией (ДС.8)
Утверждено на заседании кафедры
физики, информатики и ИТ
факультета физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол №11 от «24» апреля 2013 г.)
Зав. кафедрой физики, информатики и ИТ
___________________Н.Ю.Королева
РАЗДЕЛ I. Программа учебной дисциплины.
1.1. Автор программы: Шиманский Сергей Александрович, ст. преподаватель кафедры
информатики и ОТД
1.2. Рецензенты:
Суханова Н.Т. – канд. пед. наук, доцент кафедры информатики и ОТД
Кириченко А.Э. – канд. техн. наук, доцент кафедры информационных
систем и прикладной математики, МГТУ
1.3. Пояснительная записка:
Цель: изучение теоретических и алгоритмических основ базовых разделов математической логики, методов оценки сложности алгоритмов и построения эффективных алгоритмов; содействие
фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.
Задачи: изучить основы математической логики, символьные обозначения, теорию формальных доказательств, свойства многозначных логик, минимизацию формул.
Место курса в общей системе подготовки специалиста: Дисциплина «Математическая логика» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом; относится к числу прикладных математических дисциплин в силу отбора
изучаемого материала и его важности для подготовки специалиста. Знания и навыки, полученные
при изучении дисциплины "Математическая логика", используются обучаемыми при изучении
общепрофессиональных и специальных дисциплин компьютерного цикла.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины:
должны знать:
основы логики высказываний, логики предикатов и нечёткой логики; представления булевых
функций и способы минимизации формул; типовые свойства и способы задания функций многозначной логики;
должны уметь:
употреблять специальную математическую символику для выражения количественных и качественных отношений между объектами;
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке: нет.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО специальности 050202 Информатика
ДПП.Ф.01 Математическая логика (130 часов)
Алгебра высказываний. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы. Теорема
существования и единственности совершенных нормальных форм. Логическое следствие. Прямая
и обратная теоремы, противоположная и обратная теоремы; закон контрапозиции. Методы математических доказательств. Применение алгебры высказываний к описанию релейно-контактных
схем. Исчисление высказываний. Формулы исчисления высказываний. Аксиомы исчисления высказывания и правила вывода. Теорема дедукции и ее применение. Исследования системы аксиом
исчисления высказываний; их непротиворечивость и полнота.
Логика предикатов. Формулы логики предикатов и их классификация. Приведенная форма
для формул логики предикатов. Предваренная нормативная форма. Проблема разрешения в логике
предикатов. Применение логики предикатов. Строение математических теорем. Методы доказательства теорем. Исчисление предикатов. Непротиворечивость исчисления предикатов. Теорема
Геделя о полноте исчисления предикатов.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей, на которых
читается данная дисциплина):
№
п/п
1
2
3
4
5
Шифр и наименование специальности
050202
Информатика
050202
Инф., Физика
050708
ПиМНО, Инф
050708
ПиМНО, ДСП
050502
Технология и
предпринимательство, ДСП
Виды учебной работы в часах
Всего
ПР/
ЛК
ЛБ
ауд.
СМ
66
30
36
–
Сам.
раб.
64
Вид итогового
контроля (форма отчетности)
Зачёт
–
50
Зачёт
14
–
24
Зачёт
6
–
14
20
Зачёт
10
16
–
24
Зачёт
Курс
Семестр
2
4
Трудоемкость
130
2
3
90
40
20
20
2
4
48
24
10
2
4
40
20
3
5
50
26
1.6. Содержание дисциплины:
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
Количество часов
№
п/п
Наименование раздела, темы
Всего
ауд.
Вариант 1/Вариант 5
ПР/
ЛК
ЛБ
СМ
Сам.
раб.
Всего
ауд.
Вариант 2
ПР/
ЛК
ЛБ
СМ
Сам.
раб.
16/8
6/4
10/4
–
14/10
12
4
8
–
6
2
Алгебра логики, логика высказываний, булевы функции
Логика предикатов
14/8
6/4
8/4
–
14/10
6
2
2
–
6
3
Формальные исчисления
12/8
6/4
6/4
–
12/10
2
2
–
–
6
4
Элементы теории моделей
12/8
6/4
6/4
–
12/10
–
–
–
–
–
5
Неклассические логики
12/8
6/4
6/4
–
12/10
4
2
2
–
6
ИТОГО
66/40
30/20
36/20
0
64/50
24
10
12
0
24
1
Количество часов
№
п/п
Наименование раздела, темы
Всего
ауд.
Вариант 3
ПР/
ЛК
СМ
ЛБ
Сам.
раб.
Всего
ауд.
Вариант 4
ПР/
ЛК
ЛБ
СМ
Сам.
раб.
10
2
–
8
10
12
4
8
–
6
2
Алгебра логики, логика высказываний, булевы функции
Логика предикатов
6
2
–
4
6
6
2
4
–
6
3
Формальные исчисления
3
1
–
2
3
2
2
2
–
6
4
Элементы теории моделей
–
–
–
–
–
2
2
–
–
–
5
Неклассические логики
1
1
–
–
1
4
2
2
–
6
ИТОГО
20
6
0
14
20
26
10
16
0
24
1
Примечание: Вариант 1 для специальности 050202 Информатика.
Вариант 2 для специальности 050708 ПиМНО с доп. спец. «Информатика».
Вариант 3 для специальности 050708 ПиМНО со специализацией.
Вариант 4 для специальности 050502 Технология и предпринимательство со специализацией.
Вариант 5 для специальности 050202 Информатика с доп.спец. «Математика»
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
1. Алгебра логики, логика высказываний, булевы функции.
Высказывания и операции над ними. Общий взгляд на логические операции. Основные логические операции и их свойства. Понятие булевой алгебры. Алгебра высказываний и алгебра
подмножеств. Выполнимые, тождественно истинные и тождественно ложные формулы. Равносильность формул, основные соотношения равносильности и их использование для упрощения
формул. Нормальные формы. Существование для каждой формулы алгебры высказываний приведенной формы, нормальных форм. Совершенные нормальные формы. Теорема существования и
единственности совершенных нормальных форм. Логическое следствие. Понятие тупиковых нормальных форм. Понятие минимальных форм. Методы минимизации: Квайна, Квайна-Мак-Класки,
Блейка-Порецкого. Применение алгебры высказываний к описанию релейно-контактных схем. Системы булевых функций. Понятие полноты системы булевых функций. Теорема Поста о полноте.
2. Логика предикатов.
Предикаты на множестве. Логические операции над предикатами. Логика предикатов.
Кванторные операции над предикатами. Формулы логики предикатов и их классификация. Тавтологии. Равносильные преобразования формул. Выводимость и доказуемость формул в исчислении
предикатов. Вспомогательные правила вывода: правило силлогизма, правила умножения и разделения формул, правила умножения и разделения посылок, правило умножения заключений, правило перестановки посылок, правило контрапозиции, правила де Моргана, правила противоречия,
закон исключенного третьего. Приведённая форма для формул логики предикатов. Предварённая
нормальная форма. Проблема разрешения в логике предикатов.
3. Формальные исчисления.
а) исчисление высказываний.
Определение формального исчисления. Формулы исчисления высказываний. Аксиомы исчисления высказывания и правила вывода. Теорема дедукции и ее применение. Исчисление высказываний генценовского типа. Эквивалентность формул. Нормальные формы. Семантика исчисления секвенций. Исчисление высказываний гильбертовского типа. Алгоритмы проверки общезначимости и противоречивости в исчислении высказываний. Прямая и обратная теоремы, противоположная и обратная теоремы; закон контрапозиции. Методы математических доказательств.
б) исчисление предикатов.
Язык, аксиомы и правила вывода исчисления предикатов. Теорема дедукции для замкнутой
формулы. Эквивалентность формул. Приведение формул к нормальным формам. Понятие об интерпретации исчисления предикатов. Секвенциальное исчисление предикатов. Секвенциальный и
натуральный вывод в исчислении предикатов. Исчисление предикатов гильбертовского типа.
в) метод резолюции.
Применение логики (исчисления) предикатов для доказательства теорем. Эрбановские интерпретации. Теорема Эрбрана. Скулемовская стандартная форма. Скулемизация алгебраических систем.
Семантические деревья. Метод резолюции для логики предикатов. Унификация. Теорема о наиболее общем унификаторе. Теорема о полноте метода резолюции для логики предикатов. Применение логики предикатов в дедуктивных базах данных и экспертных системах. Основные понятия
логического программирования: хорновские дизъюнкты, SLD-резолюция. Методика составления и
реализация логических программ.
4. Элементы теории моделей.
а) аксиоматические системы. Теории первого порядка.
Исследования системы аксиом исчисления высказываний; их непротиворечивость и полнота. Натуральный вывод в логике высказываний. Корректность правил вывода. Непротиворечивость исчисления предикатов. Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов. Теорема о дедукции. Теорема Генцена об устранении сечения. Основные понятия многозначной логики. Пороговая логика. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте. Вторая теорема Гёделя.
Определение истинности. Выразимость. Элиминация кванторов. Арифметика Пресбургера. Теорема Тарского-Зайденберга. Игра Эренфойхта. Понижение мощности. Программа Гильберта
обоснования математики. Нестандартный анализ. Теоремы Лёвенгейма-Скулема.
б) поиск вывода.
Теория поиска логического вывода. Автоматический поиск вывода. Теорема Мальцева о
компактности и ее приложения. Строение математических теорем. Методы доказательства
теорем. Применение исчисления предикатов. Понятие сложности вывода и переход к табличным
исчислениям.
5. Неклассические логики.
Тезис Гильберта. Пропозициональные логики, временнЫе логики (Прайора, Леммона, фон
Вригта). Предикатные логики (многосортные логики первого порядка, теорема Линдстрёма). Предикатные временнЫе логики и их приложения к программированию.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
3
4
Кол-во часов
Раздел
Тема
Алгебра
логики,
логика
высказываний,
булевы
функции
Логика
предикатов
Формальные
исчисления
Элементы
теории
моделей
1
2
3
4
Применение алгебры высказываний к описанию релейноконтактных схем
4
3
5
4
Методы минимизации: Квайна, Квайна-Мак-Класки, Блейка-Порецкого.
10
3
5
2
Равносильные преобразования
формул.
10
3
3
3
Вспомогательные правила
вывода: правило перестановки
посылок, правило контрапозиции, правила де Моргана, закон исключенного третьего.
Эквивалентность формул.
Нормальные формы.
4
3
3
3
1
1
1
1
Алгоритмы проверки общезначимости и противоречивости в исчислении высказываний.
Понятие об интерпретации
исчисления предикатов.
3
1
1
1
1
2
–
2
Применение логики предикатов в дедуктивных базах данных и экспертных системах.
Основные понятия логического программирования: хорновские дизъюнкты, SLDрезолюция. Методика составления и реализация логических программ.
Вывод, язык, метаязык, теоремы, метатеоремы формальной
аксиоматической теории. Интерпретация и модели аксиоматической теории.
Пороговая логика. Формальная арифметика. Формулы и
интерпретации.
Определение истинности. Выразимость. Программа Гильберта обоснования математики. Нестандартный анализ.
7
2
1
2
3
–
–
–
4
3
–
–
–
Форма самостоятельной работы
- вопросы для самостоятельного изучения,
- рефераты,
- контрольные
задания на контрольной работе
Форма контроля выполнения самостоятельной
работы
- выполнение тестов,
- защита рефератов,
- проверка контрольной
работы
проверка контрольной
работы
вопросы для самостоятельного изучения
задания на контрольной работе
вопросы для самостоятельного изучения
задания на контрольной работе
вопросы для самостоятельного изучения
вопросы для самостоятельного изучения
зачёт
проверка контрольной
работы
вопросы для самостоятельного изучения
вопросы для самостоятельного изучения
зачёт
вопросы для самостоятельного изучения
зачёт
вопросы для самостоятельного изучения
вопросы для самостоятельного изучения
зачёт
зачёт
проверка контрольной
работы
зачёт
Зачёт
зачёт
зачёт
№
п/п
5
Кол-во часов
Раздел
Неклассические
логики
Тема
1
2
3
4
Теорема Мальцева о компактности и ее приложения.
2
–
–
–
Логики Лукасевича. Предикатные временнЫе логики и
их приложения к программированию.
12
6
1
6
ИТОГО
64
24
20
24
Форма самостоятельной работы
вопросы для самостоятельного изучения
вопросы для самостоятельного изучения
задания на контрольной работе
Форма контроля выполнения самостоятельной
работы
зачёт
зачёт
проверка контрольной
работы
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу:
Практическое занятие 1. Высказывания и операции над ними. Построение таблиц
истинности пропозициональных формул.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Решение задач на составление таблиц истинности.
2. Приведение высказываний к формам логических выражений.
3. Определение истинности и ложности высказываний непосредственно и с помощью тавтологий алгебры высказываний.
4. Определение принадлежности формулы к классам истинности.
5. Сопоставление булевых функций логическим выражениям.
Практическое занятие 2. Упрощение логических выражений с использованием основных тождеств алгебры логики.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Проверка истинности некоторых тождеств алгебры логики.
2. Упрощение логических выражений с использованием основных тождеств алгебр логики.
3. Определение истинности и ложности высказываний с помощью эквивалентных преобразований.
4. Приведение логических выражений и булевых функций к форме с наименьшим числом
литер.
Практическое занятие 3. Приведение пропозициональных формул к дизъюнктивной и
конъюнктивной нормальной формам. Аналитический и табличный методы приведения
пропозициональных формул к совершенным нормальным формам.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Разложение ФАЛ по нескольким произвольным переменным.
2. Приведение пропозициональных формул к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам аналитическим методом.
3. Приведение пропозициональных формул к совершенным дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам аналитическим методом.
4. Приведение пропозициональных формул к совершенным дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам табличным методом.
Практическое занятие 4. Минимизация булевых функций с использованием алгоритма Квайна и карт Карно.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Приведение к ТДНФ, ТКНФ, МДНФ, МКНФ с помощью метода проб.
2. Приведение к ТДНФ, ТКНФ, МДНФ, МКНФ с помощью метода Квайна.
3. Приведение к ТДНФ, ТКНФ, МДНФ, МКНФ с помощью метода Квайна-мак Класки.
4. Приведение к ТДНФ, ТКНФ, МДНФ, МКНФ с помощью метода Блейка-Порецкого.
5. Приведение к ТДНФ, ТКНФ, МДНФ, МКНФ с помощью карт Карно, диаграмм Вейча.
Практическое занятие 5. Применение булевых функций для анализа и синтеза дискретных устройств. Анализ и синтез релейно-контактных схем.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Разложение ФАЛ по нескольким произвольным переменным.
2. Приведение пропозициональных формул к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам аналитическим методом.
3. Приведение пропозициональных формул к совершенным дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам аналитическим методом.
4. Приведение пропозициональных формул к совершенным дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам табличным методом.
Практическое занятие 6. Предикаты. Использование кванторных предикатов для записи различных предложений. Определение выполнимости и общезначимости предикатных
формул.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Приведение высказываний к формулам логики предикатов.
2. Использование кванторов для записи ФЛП.
3. Определение выполнимости и общезначимости ФЛП.
Практическое занятие 7. Основные равносильности логики предикатов.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Проверка истинности некоторых тождеств ЛП.
2. Упрощение логических выражений с использованием основных тождеств ЛП.
3. Определение истинности и ложности высказываний с помощью эквивалентных преобразований.
Практическое занятие 8. Вывод в логике предикатов.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Вывод предикативных утверждений.
Практическое занятие 9. Приведённая форма для формул логики предикатов. Предварённая нормальная форма.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Приведение к приведённой и предварённой нормальным формам ФЛП.
Практическое занятие 10. Исчисление высказываний. Упрощение и преобразование
логических схем. Использование аксиом и правил для организации логического вывода.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Доказательство формальных теорем исчисления высказываний секвенциального типа.
2. Упрощение секвенциальных форм с использованием основных тождеств исчисления секвенций.
3. Определение истинности и ложности секвенций с помощью эквивалентных преобразований.
4. Доказательство формальных теорем исчисления высказываний гильбертовского типа.
5. Упрощение форм ИВ с использованием основных тождеств ИВ.
6. Алгоритмы проверки общезначимости и противоречивости в ИВ.
Практическое занятие 11. Исчисление предикатов. Организация логического вывода
в исчислении предикатов.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Доказательство формальных теорем исчисления предикатов секвенциального типа.
2. Доказательство формальных теорем исчисления предикатов гильбертовского типа.
3. Описание некоторых отношений в сигнатуре заданных.
Практическое занятие 12. Приведение предикатных формул к клаузальной форме.
Метод резолюций в логике предикатов.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Приведение к ПНФ, ПКНФ, КлНФ различных формул логики предикатов.
2. Определение унифицируемости множеств.
3. Нахождение резольвент пар дизъюнктов.
4. Установление выполнимости множества предложений.
Практическое занятие 13. Аксиоматические системы. Формальные грамматики и их
свойства.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Доказательство свойств формальных аксиоматических систем.
2. Доказательство эквивалентности формул в различных сигнатурах.
3. Нахождение интерпретаций и моделей аксиоматической теории.
Практическое занятие 14. Аксиоматические системы. Булевы функции и способы их
представления. Многочлены Жегалкина. Определение полноты систем булевых функций.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Разложение булевых функций в полиномы Жегалкина.
Практическое занятие 15. Поиск вывода. Проверка логической правильности рассуждений. Логическое следствие.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Рассмотрение структур математических доказательств.
2. Доказательство правильности различных методов доказательств.
3. Доказательство отсутствия доказательства существования доказательства некоторых
видов теорем.
Практическое занятие 16. Истинность в неклассических логиках. Логические преобразования.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Логические преобразования в неклассических логиках.
2. Структура программы в императивном и декларативном программировании.
Практическое занятие 17. Доказательство полноты систем в k-значной логике.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Таблицы истинности в k-значной логике.
2. Логические функции в k-значной логике.
3. Применение k-значной логики в программировании и конструировании ПК.
Практическое занятие 18. Нечеткая логика. Преобразования. Модальная логика.
Практическое занятие предусматривает следующие виды упражнений:
1. Таблицы истинности в нечётких логиках.
2. Логические функции в нечётких логиках.
3. Конструирование высказываний в модальных логиках.
4. Применение нечёткой логики в конструировании микропроцессоров.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
 Основная
1. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – СПб.: Лань, 2005
 Дополнительная.
2. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3.
Вычислимые функции. – 1999
3. Глухов М.М. Математическая логика, – М., 1982
4. Глухов М.М., Козлитин О.А., Шапошников В.А., Шишков А.Б. Задачи и упражнения по математической логике, дискретным функциям и теории алгоритмов – СПб: Лань, 2008
5. Глухов М. М., Шишков А. Б. Математическая логика. Дискретные функции. Теория алгоритмов – СПб: Лань, 2012
6. Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов.– Омск: Наследие. Диалог-Сибирь, 2003
7. Клини С.К. Математическая логика, – М., 1973
8. Павлов С. А. Логика с операторами истинности и ложности - М.: ИФ РАН, 2004
ЭБС "Университетская библиотека on-line"
1. Грядовой Д. И. Логика. Задачи и упражнения: учебное пособие – М.: Юнити-Дана, 2012
2. Кутюра Л. Алгебра логики – Одесса: Mathesis, 1909
3. Судоплатов С. В. Математическая логика и теория алгоритмов, 3-е изд.: учебник - Новосибирск: НГТУ, 2012
4. Труды научно-исследовательского семинара логического центра ИФ РАН. Выпуск 16 - М.: ИФ
РАН, 2002
ЭБС "Ibooks"
1. Гринченков Д.В. Математическая логика и теория алгоритмов для программистов: учеб. пособие – М.: КноРус, 2010
2. Демидов И. В. Логика, 7-е изд. испр.: учебник - М.: Дашков и Ко, 2012.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1.9.1. Перечень используемых технических средств. Нет.
1.9.2. Перечень используемых пособий. Нет.
1.9.3. Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения. Нет.
1.10. Примерные зачетные задания.
1. Определить, является ли данная последовательность формулой:
1.1. ABA;
1.2.

A

B

B

C
AB

;
B
BC
.


A
1.3.
2. Доказать, что результат замены некоторого вхождения формулы С в формулу А на формулу В
тоже есть формула.
3. Доказать, что для любой формулы существует эквивалентная ей «тесная формула».
4. Построить таблицы истинности для следующих формул:
AB


B

A


A
;
4.1. 
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.



A


B

A
A

C







;


A
A
B
 
A
;
AB



B

A

B








;
A

B

CA

B

A

C











;
A

B


A



B

B

A










.
4.6.
5. Доказать выполнимость формул:
AA
5.1.
;
A

B


A

 B
;
5.2. 


B

A

C


A

C

B







.
5.3.
6. Найти СДНФ для формул:
6.1.
B
BC



A
;
6.2.

A

B

B

C
AB

;
6.4.
A

B

C


A


B


C









;
A

BABC







C










;
7.1.
B
BC



A
;
7.2.

A

B

B

C
AB

;
6.3.
A

B

CA


C

A


B








6.5. 
.
7. Найти СКНФ для формул:
7.3.
7.4.
A

B

C


A


B


C









;
A

BABC







C










;
A

B

CA


C

A


B








7.5. 
.
8. Доказать полноту систем функций:
;;;
8.1.
;  ;
8.2.
;  ;
8.3.
;  ;
8.4.
| .
8.5.
9. Доказать, что каждая тождественно истинная формула выводима в исчислении высказываний.
10. Доказать, что бескванторная формула истинна тогда и только тогда, когда она может быть получена подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний.
11. Пусть предложение А истинно в любой системе, в которой истинны все аксиомы теории Т. Доказать, что А принадлежит Т.
12. Доказать, что не существует предложения, истинного во всех конечных моделях и ложного в
любой бесконечной модели.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1.11. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
Алгебра высказываний. Основные логические операции и их свойства. Булева алгебра.
Классификация формул. Равносильность формул.
Нормальные формы. Теорема существования.
Совершенные нормальные формы. Теорема существования и единственности. Следствие.
Тупиковые нормальные формы. Минимальные формы. Методы минимизации: Квайна, КвайнаМак-Класки, Блейка-Порецкого.
Применение алгебры высказываний к описанию релейно-контактных схем.
Системы булевых функций. Понятие полноты системы булевых функций. Теорема Поста о
полноте.
Предикаты на множестве. Логические операции над предикатами. Логика предикатов.
Кванторные операции над предикатами. Формулы логики предикатов и их классификация.
Тавтологии. Равносильные преобразования формул.
10. Приведённая форма для формул логики предикатов. Предварённая нормальная форма.
11. Определение формального исчисления. Формулы исчисления высказываний. Аксиомы исчисления высказывания и правила вывода.
12. Теорема дедукции и ее применение. Исчисление высказываний генценовского и гильбертовского типа. Эквивалентность формул. Нормальные формы. Семантика исчисления секвенций.
13. Алгоритмы проверки общезначимости и противоречивости в исчислении высказываний.
14. Прямая и обратная теоремы, противоположная и обратная теоремы; закон контрапозиции. Методы математических доказательств. Строение математических теорем. Методы доказательства теорем.
15. Исчисление предикатов. Понятие об интерпретации исчисления предикатов.
16. Применение логики (исчисления) предикатов для доказательства теорем. Эрбановские интерпретации. Теорема Эрбрана. Скулемовская стандартная форма. Скулемизация алгебраических
систем. Семантические деревья. Метод резолюции для логики предикатов. Унификация. Теорема о наиболее общем унификаторе. Теорема о полноте метода резолюции для логики предикатов.
17. Применение логики предикатов в дедуктивных базах данных и экспертных системах. Методика составления и реализация логических программ. Естественный вывод в развитии искусственного интеллекта. Логические основания ИИ. Фантоматы.
18. Формальные аксиоматические теории. Примеры. Свойства аксиоматических теорий.
19. Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов.
20. Теорема Генцена об устранении сечения.
21. Пороговая логика. Формальная арифметика. Теорема Гёделя о неполноте. Вторая теорема Гёделя.
22. Определение истинности. Выразимость. Элиминация кванторов. Арифметика Пресбургера.
23. Теорема Тарского-Зайденберга. Игра Эренфойхта.
24. Теоремы Лёвенгейма-Скулема.
25. Теорема Мальцева о компактности и ее приложения.
26. Тезис Гильберта. Пропозициональные логики
27. Предикатные логики (многосортные логики первого порядка, теорема Линдстрёма).
28. Предикатные временнЫе логики и их приложения к программированию. Алгоритмические логики.
1.12. Комплект экзаменационных билетов (утвержденный зав. кафедрой до начала сессии) – не предусмотрено.
1.13. Примерная тематика рефератов.
1. Предмет и значение логики;
2. Исчисление высказываний;
3. Синтаксис и семантика языка логики предикатов;
4. Метод резолюции для логики предикатов первого порядка;
5. Синтаксис и семантика модальной логики;
6. Схемы модальных формул;
7. Темпоральные логики;
8. Нечеткая арифметика;
9. Немонотонные рассуждения;
10. Основные понятия нечеткой логики.
1.14. Примерная тематика курсовых работ – не предусмотрено.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ – не предусмотрено.
1.16. Методика(и) исследования (если есть) – не предусмотрено.
1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний
студентов по данной дисциплине – не предусмотрено.
РАЗДЕЛ II.Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов)
и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
Заочная форма обучения не предусмотрена.
РАЗДЕЛ III. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция 1. Алгебра логики, логика высказываний.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Высказывания и операции над ними.
 Понятие высказывания.
 Основные логические операции.
 Свойства логических операций.
 Формулы алгебры высказываний.
 Тавтологии алгебры высказываний.
 Классы формул алгебры логики.
Лекция 2. Булевы функции. Нормальные формы.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Булевы функции одного и двух аргументов.
 Свойства булевых функций.
 Связь между высказываниями и булевыми функциями.
 Понятие нормальных форм.
 Теорема о разложении в Д(К)НФ (с доказательством).
 Понятие совершенных НФ.
 Теорема о единственности разложения в нормальную форму (с доказательством).
 Понятие тупиковых НФ.
 Понятие минимальных НФ.
 Методы минимизации булевых функций.
 Применение булевых функций к релейно-контактным схемам.
Лекция 3. Системы булевых функции.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Понятие систем булевых функций.
 Понятие замыкания системы булевых функций.
 Свойства замыкания.
 Понятие полноты систем булевых функций. Примеры полных систем.
 Важнейшие замкнутые классы. Понятие предполных классов.
 Лемма о несамодвойственной функции (с доказательством).
 Лемма о немонотонной функции (с доказательством).
 Лемма о нелинейной функции (с доказательством).
 Теорема (Поста) о функциональной полноте с доказательством.
 Следствия из теоремы Поста.
Лекция 4. Логика предикатов. Основные понятия.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Понятие предиката.
 Области истинности предикатов.
 Классификация предикатов.
 Логические операции над предикатами.
Лекция 5. Логика предикатов. Кванторы.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Понятие кванторных операций: существования, всеобщности, единственности, численный, ограниченные.
 Формулы логики предикатов.



Классификация ФЛП.
Тавтологии.
Равносильные преобразования формул.
Лекция 6. Логика предикатов. Выводимость и доказуемость.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Выводимость и доказуемость формул в исчислении предикатов.
 Клаузальная форма.
 Приведение предикатных формул к клаузальной форме.
 Метод резолюций в логике предикатов.
 Понятие предварённой нормальной формы.
 Понятие предклаузальной нормальной формы.
 Понятие общезначимости.
 Проблема разрешимости для общезначимости. Неразрешимость её в общем случае.
 Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений.
Лекция 7. Формальные исчисления. Исчисление высказываний.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Определение формального исчисления. Аксиоматика и формулы исчисления высказываний.
 Исчисление высказываний генценовского типа.
 Понятие секвенции и эквивалентность формул. Нормальные формы и семантика исчисления секвенций.
 Исчисление высказываний генценовского типа.
 Алгоритмы проверки общезначимости и выполнимости: алгоритм Квайна, алгоритм редукции, метод резолюций в исчислении высказываний, (с теоремой о полноте метода
резолюций), метод резолюций для хорновских дизъюнктов.
 Исследования системы аксиом исчисления высказываний; их непротиворечивость и
полнота.
Лекция 8. Формальные исчисления. Исчисление предикатов.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Определение логики предикатов (логики первого порядка). Алфавит, аксиоматика и
формулы исчисления предикатов сигнатуры .
 Секвенциальное исчисление предикатов сигнатуры . Непротиворечивость ИПС.
 Пренексная (предклазуальная нормальная форма).
 Теорема Куратовского-Цорна. Теорема Гёделя о неполноте. Теормема Мальцева о компактности.
 Исчисление предикатов гильбертовского типа. Теорема дедукции.
 Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов.
 Теорема Гёделя о неполноте.
Лекция 9. Формальные исчисления. Метод резолюции.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Предикативное доказательство теорем.
 Эрбрановские интерпретации. Теорема Эрбрана об H-интерпретациях.
 Задача интерпретации.
 Скулемизация алгебраических систем и метод резолюций в логике предикатов.
 Логические программы.
Лекция 10. Элементы теории моделей.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Элементарная эквивалентность. Теоремы Лёвенгейма-Скулема. Элементарные теории.
 Аксиоматический метод в математике. Формальные аксиоматические теории.
 Типы. Основные классы моделей. Теорема Воота.
 Вывод, язык, метаязык, теоремы, метатеоремы формальной аксиоматической теории.
 Примеры аксиоматических теорий (натуральных чисел Пеано, евклидовой геометрии
Гильберта и Вейля, теории множеств, теории групп).
 Непротиворечивые, полные и выполнимые системы формул.
 Интерпретация и модели аксиоматической теории. Свойства аксиоматических теорий
(непротиворечивость, полнота, категоричность, разрешимость). Теоремы Лося-Воота,
Рыль-Нардзевского, Морли. Болдвина-Еримбетова-Лахлана.
Лекция 11. Элементы теории моделей.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Теорема Генцена об устранении сечения.
 Формальная арифметика: система аксиом, арифметические функции и отношения,
арифметизация, гёделевы номера, теорема о неразрешимости, формулы и интерпретации, теорема Тарского, система Робинсона.
 Теорема Гёделя о неполноте. Вторая теорема Гёделя. Определение истинности. Выразимость. Элиминация кванторов. Арифметика Пресбургера. Теорема ТарскогоЗайденберга. Игра Эренфойхта. Понижение мощности. Программа Гильберта обоснования математики. Нестандартный анализ. Теоремы Лёвенгейма-Скулема.
Лекция 12. Элементы теории моделей.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Теория поиска логического вывода (теорема Эрбрана, метод метапеременных, глобальная обработка информации).
 Автоматический поиск вывода. Теорема Мальцева о компактности и ее приложения.
 Строение математических теорем. Методы доказательства теорем.
 Применение исчисления предикатов для записи математических утверждений и для автоматического доказательства теорем.
 Понятие сложности вывода и переход к табличным исчислениям. Индексные методы
Бродского.
 Естественный вывод в развитии искусственного интеллекта. Логические основания ИИ.
 Выбор исчислений для автоматического поиска вывода.
 Автоматизированные решения логических задач.
 Фантоматы.
Лекция 13. Неклассические логики.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Тезис Гильберта.
 Пропозициональные логики: интуиционистские логики. Принцип противоречия.
 Пропозициональные логики: понятие о многозначных логиках. Счётнозначные и континуумзначная логика.
 Пропозициональные логики: логики Лукасевича.
 Пропозициональные логики: нечёткие (вероятностные) логики и их применение в конструировании процессоров. Релейные схемы в нечёткой логике.
Лекция 14. Неклассические логики.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Пропозициональные логики: модальные логики (алетические, деонтические, эпистемические). Исчисление Брауэра. Правило Гёделя. Аксиома Баркан. Исчисление Фейса-фон
Вригта.

Означивание. Семантика Крипке. Теоремка о непротиворечивости формальных исчислений.
 Пропозициональные логики: ВременнЫе (темпоральные) логики: Прайора, Леммона,
фон Вригта.
Лекция 15. Неклассические логики.
На лекции предполагается обзор следующих тем:
 Предикатные логики: многосортные логики первого порядка. Слабая логика второго
порядка. Бесконечные логики. Логика с новыми кванторами. Теорема Линдстрёма.
 Предикатные временнЫе логики и их приложения к программированию. Схема программы с памятью.
 Алгоритмические логики. Алгоритимическая логика Хоара. Правила верификации.
РАЗДЕЛ IV. Словарь терминов (глоссарий).
Абстрактная вычислительная машина – теоретическое построение, с помощью которого вводится строгое, математическое определение алгоритма.
Алгоритмическая неразрешимость – свойство математической задачи, заключающееся в отсутствии алгоритма ее решения.
Антиномия – противоречие между положениями, каждое из которых признается логически доказуемым.
Базис (минимальная полная система) – полная система функций, которая после удаления из нее
любой функции она перестает быть полной.
Булева алгебра – раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними.
Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание.
Буль Джон – английский математик 1815-1864
Высказывание - предложение, которое может быть истинно или ложно.
Декларативный язык программирования – язык программирования высокого уровня, построенный на описании данных и на описании искомого результата. Декларативные языки подразделяются на функциональные и логические языки.
Дизъюнктивная нормальная форма – формула, которая является дизъюнкцией элементарных
конъюнкций.
Дизъюнкция высказываний – новое высказывание: сконструированное их двух и более исходных высказываний; истинное в тех случаях, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний.
Замкнутая система функций – система функций, для которой её замыкание совпадает с ней.
Импликация высказываний – новое высказывание: сконструированное их двух исходных высказываний: посылки и следствия; ложное только в тех случаях, посылка истинна, а следствие
ложно.
Исполнение алгоритма – процесс пошагового, точного выполнения алгоритма исполнителем.
Исчисление высказываний - область математической логики.
Исчисление предикатов – формальный язык классической логики, который использует функции
и предикаты для описания отношений между отдельными сущностями.
Конъюнктивная нормальная форма – формула, которая является конъюнкцией элементарных
дизъюнкций.
Конъюнкция (and, &) Логическое умножение – двуместная логическая операция, определяемая
таблицей истинности: 0 and 0 = 0, 0 and 1 = 0, 1 and 0 = 0, 1 and 1 = 1
Конъюнкция высказываний – новое высказывание: сконструированное их двух и более исходных высказываний; истинное в тех случаях, когда истинны все исходные высказывания.
Линейная функция – функция, которая может быть задана линейным многочленом Жегалкина.
Логическая операция (Булевская операция) – операция над булевскими операндами, принимающими значения Истина или Ложь. Обычно в языках программирования определены двуместные
операции: двуместное логическое сложение; двуместное логическое умножение; одноместное логическое отрицание.
Логический закон – закон непротиворечивого мышления.
Логический оператор – оператор, реализующий операции булевой алгебры.
Логический язык программирования – язык программирования, позволяющий выполнить описание проблемы в терминах фактов и логических формул, а собственно решение проблемы выполняет система с помощью механизмов логического вывода.
Логическое отрицание – унарная логическая операция, определяемая таблицей истинности: not 0
= 1, not 1 = 0.
Логическое программирование – программирование в терминах фактов и правил вывода, с использованием языка, основанного на формальных исчислениях.
Математическая логика – раздел логики, который развивается методами математики. Математическая логика занимается обоснованием суждений, доказательств и логическим выводом.
Монотонная функция – функция, для которой выполнено условие: для любых двух наборов
большему набору соответствует большее значение функции.
Нечеткая логика – логика, в которой допускается промежуточные значения истинности высказываний, заключенные между традиционными "истина" и "ложь". Нечеткая логика предложена профессором Калифорнийского университета Лофти Заде в 1965г.
Операнд – константа, переменная, функция, выражение и другой объект языка программирования, над которым производятся операции.
Оценочное суждение – высказывание, которое, в общем случае, может быть сведено к форме: "X
– это хорошо" или "X – это плохо".
После этого, следовательно, по причине этого – логическая ошибка; некорректный ход рассуждения, согласно которому одно событие, предшествовавшее другому, объявляется его причиной.
Предметная ситуация – отрезок действительности, описываемый в высказывании.
Проверяемость – возможность проверки высказываний посредством сопоставления с эмпирическими данными.
Программа – последовательность машинных команд, предназначенная для достижения конкретного результата.
Программа – согласно ГОСТ 19781-90 – данные, предназначенные для управления конкретными
компонентами системы обработки информации в целях реализации определенного алгоритма.
Псевдокод – система обозначений и правил, предназначенная для единообразной записи алгоритмов. Псевдокод занимает промежуточное место между естественным и формальным языками.
Самодвойственные функции – функции, принимающие на противоположных наборах противоположные значения.
Семантика – раздел языкознания и логики, исследующий проблемы, связанные со смыслом, значением и интерпретацией лексических единиц.
Символическая логика – представление формальной логики на основе специального языка.
Символическая логика оперирует с высказываниями, используя логические операции: отрицание,
дизъюнкция, конъюнкция. На основе символической логики создаются логические языки.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма – формула в виде дизъюнктивной нормальной формы, где в каждую из ее конъюнкций входят все переменных из формулы.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма – формула в виде конъюнктивной нормальной формы, где в каждую из ее дизъюнкций входят все переменных из формулы.
Суждение – умственный акт, выражающий отношение говорящего к содержанию высказываемой
мысли посредством утверждения модальности сказанного; и сопряженный обычно с психологическим состоянием сомнения, убежденности или веры.
Тавтология – логически истинная формула (высказывание); логический закон.
Традиционная логика – этап в развитии формальной логики, связанный с анализом элементарных структур мышления, выведения доказательства и правил предупреждения логических ошибок
в рамках естественных языков и простейших приемов символизации.
Умозаключение – рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений (посылками
умозаключения) выводится новое суждение, логически вытекающее из посылок.
Формальная логика – наука об общих структурах и законах правильного мышления, образования и сочетания понятий и высказываний, о правилах умозаключений независимо от их конкретного содержания.
Формальные компоненты высказывания – звуковые или графические формы слов, грамматические формы и структуры.
Функциональный язык программирования - язык программирования, позволяющий задавать
программу в виде совокупности определений функций. В функциональных языках программирования функции обмениваются между собой данными без использования промежуточных переменных и присваиваний; переменные, однажды получив значение, никогда его не изменят; циклы заменяются аппаратом рекурсивных функций.
Экстралингвистический контекст – обстановка, время и место, к которым относится высказывание, а также факты реальной действительности, знание которых помогает рецептору правильно
интерпретировать значения языковых единиц в высказывании.
Язык в алфавите A – произвольное множество слов этого алфавита.
Язык программирования – искусственный (формальный) язык, предназначенный для записи алгоритмов. Язык программирования задается своим описанием и реализуется в виде специальной
программы: компилятора или интерпретатора.
Язык программирования Пролог – язык логического программирования, программа на котором
состоит: из логических утверждений, образующих базу данных; и из правила вывода новых
утверждений из известных.
РАЗДЕЛ V. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам
лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной
аттестации).
Не предусмотрен.
РАЗДЕЛ VI. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер изменений в
программе
Номер и дата протокола заседания кафедры,
на котором было принято данное решение
Обновлено содержа- Протокол
ние дисциплины
24.04.13
№11
Подпись заведующего
кафедрой, утверждающего внесенное изменение
от Королева Н.Ю.
Подпись декана факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное изменение
Азарова В.В.
РАЗДЕЛ VII. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень Учебный год
преподавателя
Шиманский С.А., ст. препод.
2007-2008
Шуньгина И.В., ст. препод.
Факультет
Специальность.
ФМФ
Информатика