Document 1006577

2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра программного обеспечения
Донкова Ирина Адольфовна
ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
направления 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки): Математика, информатика», очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2015
3
Донкова И.А. Основы вариационного исчисления. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки): Математика, информатика», очной формы обучения. Тюмень, 2015, 25 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ
«Основы вариационного исчисления» [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Захарова И.Г., д.п.н., профессор.
зав.кафедрой программного обеспечения
© Тюменский государственный университет, 2015.
© Донкова И.А., 2015.
4
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля)
Целью преподавания дисциплины «Основы вариационного исчисления» является
изучение теоретических основ моделирования оптимизационных задач и методов их решения, основных приемов и методик разработки и применение на практике методов решения на ЭВМ задач оптимизации с использованием современных языков программирования.
Семинарские (практические) занятия должны включать рассмотрение конкретных
приемов по построению оптимизационных методов и сопровождаться практикумом на
ЭВМ (где студенты обязаны решить определенное количество задач на ЭВМ, используя
известные
оптимизационные
методы).
В результате выпускник должен уметь решать на ЭВМ определенный набор задач с использованием изученных методов и понимать, какие оптимизационные методы лежат в
основе программ широко используемых пакетов (например, MATLAB и т.пр.)
Задачи дисциплины:

обучить студентов основным методам решения задач исследования операций;

привить студентам устойчивые навыки математического моделирования с использованием ЭВМ;

дать опыт проведения вычислительных экспериментов.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы.
Дисциплина «Основы вариационного исчисления» входит в вариативную часть цикла математических и естественно - научных дисциплин Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по
направлению 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки):
Математика, информатика». Для изучения и освоения дисциплины нужны первоначальные знания из курсов математического анализа, линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, информатики. Знания и умения, практические навыки, приобретенные
студентами в результате изучения дисциплины, будут использоваться при изучении курсов математического моделирования,
5
вычислительного практикума, при выполнении курсовых и дипломных работ, связанных с математическим моделированием и обработкой наборов данных, решением конкретных задач из механики, физики и т.п.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Исследование операций
Математические модели в
экономике
Теория экстремальных и оптимизационных задач
4
Компьютерное моделирование
5
Курсовые работы и выпускная квалификационная работа
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3.Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы
В результате изучения дисциплины “ Основы вариационного исчисления ” цикла
математических и естественнонаучных дисциплин вариативной части по направлению
подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки): Математика, информатика» с квалификацией (степенью) “бакалавр” в соответствии с целями
основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, выпускник должен обладать следующими компетенциями:
Общекультурными компетенциями:

Владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1).
Профессиональными компетенциями:

Способность разрабатывать и реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1).
6
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
В результате изучения дисциплины студенты должны
знать:
 теорию основных разделов математического программирования;
 классификацию задач вариационного исчисления и виды математических
моделей;
 основные методы решения оптимизационных задач;
 теорию двойственности задач математического программирования и теоремы двойственности;
 анализ оптимального решения на чувствительность при изменении параметров модели,
уметь:
 использовать основные понятия и методы оптимизации;
 практически решать типичные оптимизационные задачи;
 решать достаточно сложные в вычислительном отношении задачи, требующих их численной реализации на ЭВМ;
 иметь навыки в постановке и реализации оптимизационных задач
владеть:
методами и технологиями разработки оптимизационных моделей и методов для задач из
указанных разделов.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6 . Форма промежуточной аттестации экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы - 144 академических часов, из них 30 часов
лекций, 30 часов семинарские занятия, 4,35 часа иные виды работ, 64,35 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 79,65 часов, выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
Таблица 2.
1
1
2
1
2
3
1
2
2
Модуль 1
Общая характеристика
методов оптимизации
Математические модели и методы выпуклого нелинейного
программирования
Всего*
Модуль 2
Численные оптимизационные
одномерные методы
Многомерная безусловная
численная оптимизация.
Методы нулевого порядка
Многомерная безусловная
численная оптимизация.
Методы 1-го и 2-го порядка
Всего*
Модуль 3
Многомерная условная
численная оптимизация
Численные оптимизационные
методы случайного поиска и
переменной метрики
Всего*
Итого (часов, баллов):*
Из них в интерактивной форме
* с учетом иных видов работ
Итого
часов
по
теме
Из них в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
Самостоятельная работа*
Лекции*
недели семестра
Тема
Практические
занятия*
Виды учебной работы
и самостоятельная работа, в час.
№
3
4
5
6
7
8
9
1
2
2
4
8
2
0-5
2-6
10
10
10
30
3
0-28
12
12
14
38
5
0-33
7
2
2
10
14
2
0-5
8-9
4
4
30
38
3
0-14
10-13
8
8
30
46
3
0-20
14
14
70
98
8
0-39
14-16
6
6
12
24
2
0-17
17-18
4
4
12
20
10
10
24
44
30
30
84
144
0-11
2
0-28
0–
100
16
8
Информационные системы и технологии
электронные
практикум
Технические
формы контроля
программы компьютерного
тестирования
тест
Письменные работы
контрольная
работа
ответ на семинаре
собеседование
Устный опрос
коллоквиумы
№
темы
Итого количество баллов
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3.
Модуль 1
Т1
Т2
Всего
Т1
Т2
Т3
Всего
0-1
0-2
0-1
0-5
0-2
0-4
0-5
0-5
0-3
0-6
0-5
0-5
0-5
0-3
0-3
0-1
0-7
0-6
0-6
0-2
014
0-5
0-5
0-3
0-4
0-7
0-6
0-8
014
034
0-2
0-6
0-2
0-1
0-19
0-1
0-4
0-1
0-25
0-5
0-1
0-1
Модуль 2
0-2
0-2
0-1
0-1
0-5
0-2
0-4
0-2
0-13
0-18
0-8
0-39
0-10
0-26
0-36
0 – 100
Модуль 3
Т1
Т2
Всего
Итого
015
0-17
0-5
0-5
0-1
0-2
0-2
0-1
0-1
0-2
0-15
0-4
0-10
0-5
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Общая характеристика методов оптимизации
Аналитическое исследование оптимизационных задач классическими методами.
Исследование нелинейных задач численными методами. Классификация численных методов по размерности, порядку, ограничениям задачи. Экспериментальные методы исследования на ЭВМ. Специализированные математические пакеты.
Тема 1.2. Математические модели и методы выпуклого нелинейного
программирования
Понятие выпуклых областей, выпуклых и вогнутых функций. Геометрическая интерпретация. Аналитические и алгебраические свойства выпуклых (вогнутых) функций.
9
Теорема Куна -Таккера для задач выпуклого нелинейного программирования. Понятие
двойственности для задач нелинейного программирования. Квадратичное программирование.
Модуль 2.
Тема 2.1. Численные оптимизационные одномерные методы
Численные оптимизационные одномерные методы 0-, 1-, 2-го порядка: метод дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения, метод квадратичной интерполяции Пауэлла, Ньютона
и
др.
Условия
сходимости.
Теорема (о локализации точек экстремума унимодальной функции).
Тема 2.2.Многомерная безусловная численная оптимизация.
Методы нулевого порядка
Многомерная безградиентная оптимизация (концепция методов).Метод покоординатного спуска (Гаусса-Зейделя), метод Розенброка, метод деформируемого многогранника (Нелдера-Мила), метод вращающихся координат, метод Хука-Дживса (метод конфигураций, метод пробных шагов), и др.
Тема 2.3. Многомерная безусловная численная оптимизация.
Методы первого и второго порядка
Многомерная безусловная градиентная оптимизация: метод наискорейшего спуска,
метод сопряженных направлений (градиентов) и др. Численные оптимизационные методы
2-го порядка: метод Ньютона и его модификации. Условия сходимости и геометрическая
интерпретация.
Модуль 3.
Тема 3.1. Многомерная условная численная оптимизация
Метод проектирования для линейных областей. Понятие сепарабельной функции.
Приближенное решение задачи выпуклого программирования (ЗВП) методом кусочнолинейной аппроксимации. Метод проекции градиента. Методы внешних и внутренних
штрафных функций.
Тема 3.2. Численные оптимизационные методы случайного поиска и
переменной метрики
Численные оптимизационные методы переменной метрики: метод Бройдена, метод
Флетчера, метод Пирсона и др. Условия сходимости. Численные оптимизационные методы случайного поиска: случайный поиск, блуждающий поиск, метод случайных направлений.
6.
Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1.1. Общая характеристика методов оптимизации
10
Аналитическое исследование оптимизационных задач классическими методами.
Исследование нелинейных задач численными методами. Специализированные математические пакеты.
Тема 1.2. Математические модели и методы выпуклого нелинейного
программирования
Аналитические и алгебраические свойства выпуклых (вогнутых) функций. Исследование функций на выпуклость (вогнутость). Локальные условия теоремы Куна-Таккера
для задач выпуклого нелинейного программирования. Понятие двойственности для задач
нелинейного программирования. Квадратичное программирование.
Модуль 2.
Тема 2.1. Численные оптимизационные одномерные методы
Численные оптимизационные одномерные методы 0-, 1-, 2-го порядка: метод дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения, метод квадратичной интерполяции Пауэлла, Ньютона и др. Условия сходимости.
Тема 2.2.Многомерная безусловная численная оптимизация.
Методы нулевого порядка
Метод покоординатного спуска (Гаусса-Зейделя), метод Розенброка, метод деформируемого многогранника (Нелдера-Мила), метод вращающихся координат, метод ХукаДживса (метод конфигураций, метод пробных шагов), и др.
Тема 2.3. Многомерная безусловная численная оптимизация.
Методы первого и второго порядка
Метод наискорейшего спуска, метод сопряженных направлений (градиентов) и др.
Численные оптимизационные методы 2-го порядка: метод Ньютона и его модификации.
Модуль 3.
Тема 3.1. Многомерная условная численная оптимизация
Метод проектирования для линейных областей. Приближенное решение задачи
выпуклого программирования (ЗВП) методом кусочно-линейной аппроксимации. Метод
проекции градиента. Методы внешних и внутренних штрафных функций.
Тема 3.2. Численные оптимизационные методы случайного поиска и
переменной метрики
Численные оптимизационные методы переменной метрики: метод Бройдена, метод
Флетчера, метод Пирсона и др. Численные оптимизационные методы случайного поиска:
случайный поиск, блуждающий поиск, метод случайных направлений.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируется.
11
8.
Примерная тематика курсовых работ
Не планируются.
9.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и
темы
Модуль 1
1.1 Т1.
1.2
Т2.
Виды СРС
обязательные
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий практических
работ. Выполнение тестовых и контрольных работ
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий практических
работ
Выполнение тестовых и контрольных работ
Всего по модулю 1: *
Модуль 2
2.1 Т1.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
практических работ
Выполнение тестовых и контрольных работ
2.2
2.3
Т2.
Т3.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
практических работ
Выполнение тестовых и контрольных работ
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
практических работ
Выполнение тестовых и контрольных работ
дополнительные
Работа с
учебной литературой
Неделя
семестра
Объ
ем
часов
Кол
-во
бал
лов
1
4
0-6
2-3
11
0-19
Написание
программы
15
0-25
4-6
20
0-13
7-9
10
0-18
10
14
0-8
Работа с
учебной литературой
Работа с
учебной литературой
Работа с
учебной литературой
12
Всего по модулю 2:*
Модуль 3
3.1 Т1.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
практических работ
Выполнение тестовых и контрольных работ
3.2
Т2.
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
практических работ
Выполнение тестовых и контрольных работ
Всего по модулю 3:*
ИТОГО:
44
0-39
11-13
13
0-10
14-17
12
0-26
25
84
0-36
0100
Работа с
учебной литературой
Работа с
учебной литературой
* с учетом иных видов работ
10. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Циклы
Название дисциплины (модуля), практики, ИГА
Семестр
ОК-1
Б1.Б.2
Философия
6
Б2.Б.2
Основы математической обработки информации
6
Б3.Б.1.1
Общая психология
3
Б3.В.ОД.4
Дискретная математика
3
Б3.В.ОД.6
Теория вероятностей и математическая статистика
5
Б3.В.ОД.7
Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными
5
Б3.В.ОД.16
Численные методы
10
Б3.В.ДВ.3.1
Избранные вопросы теории функций действительной переменной
5
Б3.В.ДВ.3.2
Функциональный анализ
5
Б3.В.ДВ.4.1
Исследование операций
9
Б3.В.ДВ.4.2
Основы вариационного исчисления
9
Б3.В.ДВ.5.1
Числовые системы
8
Б3.В.ДВ.5.2
Научные основы школьного курса математики
8
Б3.В.ДВ.19.1
Комплексный анализ
8
14
Б3.В.ДВ.19.2
Теория функций комплексной переменной
8
Б3.В.ДВ.21.1
Теория чисел
2
Б3.В.ДВ.21.2
Дополнительные главы алгебры
4
Б3.В.ОД.9
Основы компьютерных наук
1
Б3.В.ОД.3
Алгебра
1,2,3
Б3.В.ОД.5
Математическая логика и теория алгоритмов
1,2,3
Б3.В.ОД.1
Математический анализ
1,2,3,4
Б3.В.ОД.4
Геометрия
1,2,3,4
Б3.В.ОД.10
Технологии программирование
2
Б3.В.ДВ.12.1
Теория чисел
2
Б3.В.ДВ.12.2
Дополнительные главы алгебры
2
Б3.В.ОД.11
Объектно-ориентированное программирование
3
Б3.В.ОД.12
Базы данных
4
Б3.В.ОД.2
Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными
5
Б3.В.ОД.6
Теория вероятностей и математическая статистика
5
Б3.В.ОД.13
Архитектура ЭВМ
5
ПК-1
15
Б3.В.ДВ.1.1
Физика
5
Б3.В.ДВ.1.2
Теоретическая физика
5
Б3.В.ДВ.3.1
Избранные вопросы теории функций действительной переменной
5
Б3.В.ДВ.3.2
Функциональный анализ
5
Б3.Б.10
Методика обучения предмету (математика)
Б3.Б.11
Методика обучения предмету (информатика)
Б3.В.ОД.14
Программное обеспечение ЭВМ и операционные системы
7
Б3.В.ОД.15
Теория игр
7
Б3.В.ОД.8
Элементарная математика с практикумом по решению задач
Б3.В.ДВ.5.1
Числовые системы
8
Б3.В.ДВ.5.2
Научные основы школьного курса математики
8
Б3.В.ДВ.6.1
Мультимедиа технологии
8
Б3.В.ДВ.6.2
Компьютерная графика и анимация
8
Б3.В.ДВ.7.1
Методика преподавания математики в профильных классах
8
Б3.В.ДВ.7.2
Дополнительные главы методики преподавания математики
8
Б3.В.ДВ.14.1
Системы компьютерной математики
8
Б3.В.ДВ.14.2
Инструментальные средства компьютерного моделирования
8
5,6,7
6,7
6,7,8
16
Б5.П.3
Педагогическая практика
8
Б3.В.ОД.7
Дискретная математика
9
Б3.В.ДВ.4.1
Теория экстремальных и оптимизационных задач
9
Б3.В.ДВ.4.2
Основы вариационного исчисления
9
Б3.В.ДВ.8.1
Организация работы по математике с одаренными учащимися
9
Б3.В.ДВ.8.2
Практикум по решению олимпиадных задач по элементарной математике
9
Б3.В.ДВ.10.1
Дополнительные главы теории и методики обучения информатике
9
Б3.В.ДВ.10.2
Решение задач ЕГЭ по информатике
9
Б3.В.ДВ.11.1
Средства и методы защиты информации
9
Б3.В.ДВ.11.2
Информационная безопасность
9
Б3.В.ДВ.13.1
Информационные системы и сети
9
Б3.В.ДВ.13.2
Информационные системы, сети и Интернет
9
Б3.В.ДВ.16.1
Проектирование и разработка Web-приложений
9
Б3.В.ДВ.16.2
Основы Web-програмирования и дизайна
9
Б5.П.4
Педагогическая практика
9
Б3.В.ОД.16
Численные методы
10
Б3.В.ДВ.9.1
История математики и информатики
10
17
Б3.В.ДВ.17.1
Компьютерное моделирование
10
Б3.В.ДВ.17.2
Математические модели в естественных и социальных науках
10
Б3.В.ДВ.18.1
Математические модели в нефтегазовом комплексе
10
Б3.В.ДВ.18.2
Математические модели в экономике
10
Б3.В.ДВ.19.1
Теория нечетких множеств
10
Б3.В.ДВ.19.2
Искусственный интеллект и нейронные сети
10
Б3.В.ДВ.20.1
Теория автоматов
10
Б3.В.ДВ.20.2
Алгебраическая теория информации
10
Код компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Пороговый (удовл.)
61-75 баллов
базовый (хорошо)
76-90 баллов
Повышенный (отлично)
91-100 баллов
Виды занятий (лекции,
семинарские, практические, лабораторные)
Оценочные средства
(тесты, творческие
работы, проекты и
др.)
19
Знает: основные понятия
дискретной
математики,
основные
теоретические
аспекты задач вариационного исчисления.
Знает: теоретические основы,
проблемы, постановки и обоснования задач вариационного
исчисления, основные методы
решения типовых численных
задач вариационного исчисления.
Умеет: выявить задачи вариационного исчисления.
Умеет: выявить задачи исследования операций и выбрать
необходимый типовой алгоритм для ее решения; применять понятия и методы вариационного исчисления для
формализации и решения задач.
ОК-1
.
Владеет: методологией, основными понятиями и алгоритмами, необходимыми для
выявления задач использующих алгоритмы; навыками
анализа и обобщения результатов теоретических и
практических исследований
в предметной области
Владеет: навыками анализа,
синтеза,
сопоставления
и
обобщения результатов теоретических и практических исследований в предметной области; навыками моделирования прикладных задач методами вариационного исчисления.
Знает: теоретические основы, проблемы, постановки и обоснования
задач вариационного исчисления;
основные термины, различные методы решения прикладных задач
вариационного исчисления.
Умеет: выявить типовые, а также
нестандартные задачи исследования операций, разработать метод
решения поставленной задачи с использованием типовых алгоритмов
решения задач вариационного исчисления.
Владеет: навыками анализа, синтеза, сопоставления и обобщения, нестандартными подходами и приемами организации результатов теоретических и практических исследований в предметной области; навыками моделирования прикладных задач методами исследования операций, а также внедрения готовых моделей прикладных задач вариационного исчисления при решении профессиональных задач.
Лекции,
занятия.
практические Практические
ния, опрос.
Практические занятия
Лекции,
занятия.
зада-
Практические задания, контрольная работа
практические
Практические
ния, экзамен
зада-
20
Знает: основные понятия и Знает: этапы решения типоалгоритмы вариационного вых задач вариационного
исчисления.
исчисления с использованием компьютера.
ПК-1
Умеет: использовать основные методы обработки данных для решения задач вари-
Знает: основные понятия и алгоритмы, этапы решения типовых
задач вариационного исчисления Лекции,
с использованием компьютера.
занятия.
практические Практические
ния, опрос.
Умеет: определять наиболее эффективный и оптимальный способ решения задач вариационно- Практические занятия.
го исчисления.
Умеет: выполнять необхо- ационного исчисления.
димые действия при решении задач вариационного
исчисления с использовани- Владеет: навыками решения
задач по образцу.
Владеет: навыками разработки
ем базового программного
алгоритмов и решения сложных
обеспечения.
задач вариационного исчисления.
Владеет: навыками разработки простейших алгоритмов и решения типовых задач вариационного исчисления
Лекции,
занятия.
зада-
Практические задания, контрольная работа.
практические
Практические
ния, экзамен.
зада-
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Пример тестового задания по теме «Общая характеристика методов оптимизации»:
1. Задача математического программирования является задачей нелинейного программирования, если постановка задачи содержит:
1) линейные ограничения;
2) линейные целевые функции;
3) условия целочисленности;
4) хотя бы одну нелинейную функцию.
2. Представлена математическая модель
z = 3x12+ 4x2max, 2x1 + 3x2 ≤ 4,
- 2x1 + x2 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
1) задачи нелинейного программирования;
2) задачи целочисленного программирования;
3) задачи линейного программирования;
4) задачи динамического программирования.
3. Условие применения градиентной оптимизации
1) дифференцируемость целевой функции;
2) наличие системы ограничений;
3) дифференцируемость функций системы ограничений;
4) дифференцируемость всех функций задачи.
Пример практического задания в 9 семестре
Дана задача нелинейного программирования
z =2 (x1 - 5) 2 + (x2 - 3) 2  max (min),
x1+ x2 ≥ 1,
x1 + 2x2 ≤ 8, 3x1 + x2 ≤ 15, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Для указанной оптимизационной задачи:
1) показать, что нелинейная задача является задачей выпуклого программирования;
2) найти оптимальное решение задачи графически, аналитически и методом кусочнолинейной аппроксимации.
22
Пример контрольной работы в 9 семестре
Дана задача нелинейного программирования
z = (x1 - 6) 2 + (x2 - 2) 2 max (min),
x1+ x2 ≥ 1,
x1 + 2x2 ≤ 8, 3x1 + x2 ≤ 15, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Для указанной оптимизационной задачи:
а) изобразить область допустимых решений (ОДР);
б) построить линии уровня целевой функции, проходящие в ОДР;
в) найти оптимальное решение задачи графически, аналитически.
Пример экзаменационного билета:
1. Теорема (необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости) функций).
2. Многомерная условная оптимизация. Метод проекции градиента.
Вопросы к экзамену
Классификация оптимизационных методов и задач.
Виды экстремумов. Основные понятия и определения.
Постановка общей задачи нелинейного программирования (ЗНП).
Нахождение градиента, производной по направлению, частных производных и дифференциалов 1 и 2-го порядков нелинейных функций
5. Построение поверхностей методом сечений
6. Условия и способ перехода от задачи условного экстремума к безусловному экстремуму.
7. Свойства и особенности решения ЗНП.
8. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Определение. Геометрическая интерпретация.
9. Постановка задачи выпуклого нелинейного программирования.
10. Определение выпуклой (вогнутой) функции. Геометрическая интерпретация.
11. Аналитические и алгебраические свойства выпуклых (вогнутых) функций.
12. Теорема (необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости) функций)
13. Теорема (о существовании глобального экстремума).
14. Теорема (о выпуклости (вогнутости) дважды дифференцируемой функции).
15. Критерий Сильвестра. Матрица Гессе.
16. Постановка задачи квадратичного программирования. Квадратичные формы.
17. Определение сепарабельной функции.
1.
2.
3.
4.
23
18. Приближенное решение задачи выпуклого программирования (ЗВП) методом кусочнолинейной аппроксимации.
19. Симплекс-метод решения линейной задачи программирования, полученной в результате линеаризации ЗВП.
20. Классификация численных оптимизационных методов.
21. Одномерная оптимизация. Метод половинного деления.
22. Одномерная оптимизация. Метод Фибоначчи.
23. Одномерная оптимизация. Метод золотого сечения.
24. Теорема (о локализации точек экстремума унимодальной функции).
25. Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Концепция методов.
26. Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Метод наискорейшего спуска.
Геометрическая интерпретация. Критерий окончания.
27. Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Метод сопряженных направлений. Критерий окончания.
28. Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Метод Ньютона
29. Многомерная безградиентная оптимизация (концепция методов).Метод покоординатного спуска, метод Розенброка, метод деформируемого многогранника.
30. Многомерная случайная оптимизация.
31. Многомерная условная оптимизация (концепция методов).
32. Понятие допустимых, прогрессивных направлений. Исходные понятия и критерий
окончания метода допустимых направлений
33. Многомерная условная оптимизация. Метод проекции градиента.
34. Многомерная условная оптимизация. Методы штрафных функций.
35. Способы коррекции шага в градиентных методах.
36. Область эффективности и сходимость методов.
37. Понятие седловой точки.
38. Условие регулярности функции.
39. Теоремы Куна-Таккера.
40. Двойственные задачи НП. Теоремы о минимаксах.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в
рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Студент получает экзамен автоматически в случае набора в течение семестра следующего количества баллов:
61 – 75 баллов – «удовлетворительно»;
76 – 90 баллов – «хорошо»;
91 – 100 баллов – «отлично».
24
Студент набирает в течение семестра 35-60 баллов. Для сдачи экзамена студент
должен явиться на экзамен. Экзамен проводится в устно-письменной форме (на усмотрение преподавателя). Билет содержит 2 вопроса из разных разделов годового курса. Каждый вопрос оценён в определённое количество баллов. После подсчёта баллов, набранных
в течение экзамена, эти баллы суммируются с баллами, набранными в течение семестра.
Оценка выставляется на основе всех набранных баллов. Если набранных балов не хватает
для получения экзаменационной оценки, студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных работ или выполнения дополнительных заданий.
Студент набирает в течение семестра менее 35 баллов (не допущен к сдаче экзамена). Студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных и контрольных работ. После
получения допуска (35 баллов), студент должен явиться на экзамен. Экзамен проводится в
устно-письменной форме (на усмотрение преподавателя). Билет содержит 2 вопроса из
разных разделов курса. Каждый вопрос оценён в определённое количество баллов. После
подсчёта баллов, набранных в течение экзамена, эти баллы суммируются с баллами,
набранными в течение семестра. Оценка выставляется на основе всех набранных баллов.
Если набранных балов не хватает для получения экзаменационной оценки, студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных работ или выполнения дополнительных заданий.
Если студент хочет повысить оценку, полученную автоматически по итогам
семестра, он должен явиться на экзамен. Экзамен проводится в устно-письменной форме
(на усмотрение преподавателя). Билет содержит 2 вопроса из разных разделов курса. Каждый вопрос оценён в определённое количество баллов. После подсчёта баллов, набранных
в течение экзамена, эти баллы суммируются с баллами, набранными в течение семестра.
Оценка выставляется на основе всех набранных баллов. В случае, если студент отказывается от сдачи экзамена или набранных баллов не хватает для повышения оценки, ему выставляется оценка, полученная автоматически по итогам семестра.
В случае, если в течение семестра студент не набрал необходимое количество
баллов и не явился на сдачу зачёта (экзамена) во время сессии, добор баллов и
пересдача осуществляются только в сроки, установленные учебной частью института.
11. Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций, компьютерных
работ и проведение контрольных мероприятий (контрольных работ, промежуточного тестирования, экзамена).
аудиторные занятия:
лекционные и компьютерные семинарские занятия; на практических занятиях контроль
осуществляется при сдаче заданий в аналитическом виде, в виде программы (на одном из
используемых языков программирования) и пояснительной записки к задаче. В течение
семестра студенты выполняют задачи, указанные преподавателем к каждому занятию.
активные и интерактивные формы
компьютерное моделирование и анализ результатов при выполнении самостоятельных
работ
внеаудиторные занятия:
25
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности при выполнении
практических заданий, подготовка к аудиторным занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом, составлении
конспектов. Подготовка индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний: текущему контролю
успеваемости и промежуточной аттестации; индивидуальные консультации.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1. Основная литература:
1. Исследование операций в экономике: Учеб.пособие для вузов/ Под ред. Н.Ш.Кремера.
– М.: ЮРАЙТ, 2012. – 438 с.
2. Донкова И.А. Исследование операций/ И.А. Донкова; Тюм. гос. ун-т. – Тюмень: Издво ТюмГУ, 2011. - 164 с.
12.2. Дополнительная литература:
1. Алексеев В. М.Сборник задач по оптимизации: Теория. Примеры. Задачи. Для мат.
спец. вузов / В. М. Алексеев, Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. - Москва : Наука, 1984. 288 с.
2. Алексеев, В. М.. Оптимальное управление : [учеб. пособие для мат. спец. вузов] / В.
М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. Ф. Фомин. - Москва : Наука, 1979. - 429 с.
3. Егоров А. И.Основы теории управления / А. И. Егоров. - Москва: Физматлит, 2004. 504 с.
4. Оптимальное управление / ред. Н. П. Осмоловский, В. М. Тихомиров. - Москва :
МЦНМО, 2008. - 320 с.
12.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ]. – Режим доступа http: // www.numanal.srcc.msu.ru/ свободный. – Загл. с экрана.
1. Донкова И.А. Исследование операций (2008), – Режим доступа: http://study.kib.ru/ по
паролю.
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
При проведении лекционных и практических занятий в качестве информационных
технологий используется программное обеспечение пакета Microsoft Office, системы программирования (например, MATLAB), специальное демонстрационное оборудование
(мультимедийные проекторы, интерактивные доски и др.).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
26
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием. Для выполнения практических
работ необходимы классы персональных компьютеров с набором базового программного
обеспечения разработчика.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для успешного сдачи экзамена студенты должны посещать лекции и практические занятия, выполнять домашние задания и все контрольные работы.
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по теме до проведения практического занятия.
Работу с теоретическим материалом с использованием учебника или конспекта
лекций можно проводить по следующей схеме:
название темы; цели и задачи изучения темы; основные вопросы темы; характеристика
основных понятий и определений, необходимых для усвоения данной темы; краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
Виды контроля деятельности студентов, применяемые на аудиторных занятиях, их
оценка в рейтинговых баллах
№
Вид контроля
п/п
Максимальное количество баллов
1.
Посещение лекционных В случае пропуска лекции без уважительной причины текущий
занятий
рейтинг снижается на 1 балл
2.
Посещение практических занятий
3.
Выполнение практиче- За защиту практической работы позже установленного срока коских заданий
личество баллов снижается на 1- 2 балла.
4.
Выполнение индивидуЗа выполнение по инициативе студента индивидуальных задаальных заданий в проний текущий рейтинг может быть повышен на величину 0 - 10
цессе самостоятельной
баллов за задание
работы
5.
Экзамен по дисциплине
В случае пропуска занятия без уважительной причины текущий
рейтинг снижается на 1 балл
0 - 6 баллов за ответ на вопрос экзаменационного билета