Лекция 14. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ

Лекция 14. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ
Изучить основное уравнение молекулярно-кинетической теорш идеального газа, физический смысл понятия температуры, внутреннк энергию идеального газа.
ПЛАН ЛЕКЦИИ
Учебные вопросы
Введение.
1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.
2. Физический смысл понятия температуры.
3. Распределение энергии по степеням свободы.
4. Внутренняя энергия идеального газа.
Заключение.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 4 часа.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Суханов А.Д. Фундаментальный курс физики. -М.: 1996.
2. Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. -M: -Наука, 1996. Глава 10.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 41,42,43.
4. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1996.
Отдел II. Глава 5.
ВВЕДЕНИЕ
Кинетической теорией газов называется учение о строении и физических свойствах газов, основанное на статистическом методе исследования.
В основе классической статистической физики лежат следующие исходные положения:
1. В системе частиц выполняются законы сохранения, энергии, импульса
и момента импульса.
2. Все физические процессы, которые происходят в системе частиц, происходят в пространстве и времени непрерывно. Например, скорость и энергия
любой частицы могут непрерывно изменяться под действием различных сил.
3. Любую частицу в системе можно отличить от всех остальных таких
же частиц (различимость тождественных частиц в классической статистической физике).
5. Любая частица системы может иметь произвольные значения координат и импульсов (или скоростей) независимо от значений этих величин для
других частиц.
I. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
Кинетическая теория газов позволяет установить связь между параметрами состояния газа и характеристиками движения молекул газа.
Определим давление, производимое газом, как величину характеризующую интенсивность нормальных (перпендикулярных к поверхности) сил, с которыми газ действует на стенки сосуда. Если силы распределены равномерно, то давление равно.
P
Fn
,
S
(1)
где S - площадь этой поверхности; Fn - сумма приложенных перпендикулярно
сил. При неравномерном распределении сил по поверхности равенство (1) определяет
среднее давление на данную площадку, а в пределе, при стремлении S к кулю, - давление
в данной точке:
dFn
.
dS
По кинетической теории давление газа на стенки сосуда возникает в результате
P
непрерывных ударов о них отдельных молекул. Эти удары молекул о стенки приводят к
некоторым смешениям частиц материала стенки и, значит, к ее деформации. Деформированная же стенка действует на газ упругой силой, направленной в каждой точке пер2
пендикулярно к стенке. Сила эта равна по абсолютному значению и противоположна по
направлении силе, с которой газ действует на стенку (рис. 1).
Рис. 1
Хотя силы взаимодействия каждой отдельной молекулы с молекулами стенки неизвестны при столкновении, тем не менее, законы механики позволяют найти среднюю
силу, возникающую от совокупного действия всех молекул газа, т.е. найти давление газа.
Рассмотрим некоторый объем газа, заключенного в сосуд в форме параллелепипеда, изображенного на рисунке. 2. Газ находится в состоянии равновесном, то есть, газ
как целое покоится относительно стенок сосуда, следовательно, число молекул, движущихся в каком-нибудь произвольном направлении, в среднем равно числу молекул, скорости которых направлены в противоположную сторону.
Рис. 2
Вычислим давление на стенку авсd, ограничивающую объем газа на рисунке 2.
На слой x стороны деформированной стенки действует сила F .
По II закону Ньютона импульс силы Ft равен изменение импульса в слое x .
Но газ находится в равновесном состояния, так что слой никакого приращения
импульса в направлении импульса силы не получает. Происходит это потому, что из-за
молекулярных движений выделенный слой получает импульс противоположного
3
направления.
При беспорядочных движениях газовых молекул за время t в наш слой слева
направо входит не которое число молекул и столько же молекул выходит из него в обратном направлении - справа налево.
Входящие молекулы несут о собой определенный импульс. Выходящие
несут такой же импульс противоположного направления, так что общее изменение импульса слоя равно векторной разности импульсов входящих и выходящих из слоя молекул.
Найдем число молекул, входящих в слой x за время t . За это время к
границе а´в´с´d´, на рис. 2, могут подойти те молекулы, которые находятся от нее на
расстоянии, не большем vt . Все они находятся в объеме V  Svx t . Если n –
концентрация, то в указанном объеме находится N´ молекул:
N  nSv x t.
Но из них лишь половина движется слева направо в слой, другая половина движется от него и в слой не попадает. Следовательно, за время t в слой
слева направо входит N молекул.
1
N  nSvx t.
2
Каждая ИЗ них обладает импульсом mv x , где m - масса молекулы. Общий
импульс, вносимый ими в слой, т.е. изменение импульса слоя, равен
1
nmSv2 x t.
2
За это же время слой покидают, двигаясь справа налево, такое же число
молекул с таким же общин импульсом, но обратного направления, т.е., общее
изменение импульса слоя равно
1
1
(3)
nmSvx2 t - ( nmSvx2 t ) = nmSvx2t.
2
2
ЭТО изменение импульса слоя и компенсирует то изменение, которое
должно было бы произойти под действием импульса силы Ft . По II закону
Ньютона:
Ft  nmSvx2t.
(4)
Поделив левую и правую часть (4) на произведение St получим:
F
 P  nmvx2 .
S
4
(5)
Вопрос о различии скоростей газовых молекул мы уже разбирали в
предыдущей лекции, рассматривая распределение Максвелла. Учтем различие в
скоростях и их проекции на оси координат тем, что заменим величину vx2 ее
средним значением vx2 :
P  nm vx2 .
(6)
Для каждой скорости можно записать v 2  vx2  v y2  vz2 .
v 2  v x2  v y2  v z2  x x2  v y2  v 2z .
(7)
Из-за полной беспорядочности молекулярных движений можно полагать,
что средние значения квадратов проекций скоростей на три оси координат равны друг ДРУГУ:
xx2  v y2  v 2z .
Следовательно, xx2 
1 2
v , подставим в (6):
3
2
1
2 mv
2
P  nm vx  n
.
3
3
2
Но W 
(8)
(9)
m v2
- средняя кинетическая энергия поступательного движения
2
одной молекулы, тогда
2
(10)
P nW .
3
Давление идеального газа равно двум третьим средней кинетической
энергии поступательного движения молекул, находящихся в единице объема.
2. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОНЯТИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Умножим правую и левую части уравнения (10) на объем одного моля V
газа:
2
PVμ  nVμ W ;
3
nVμ - число молекул в моле газа, оно равно постоянной Авогадро
N A  nVμ ;
2
PVμ  N A W .
3
5
Кроме того, по уравнению Менделеева-Клайперона PV 
V  Vμ ;
m

m

RT , при
 1 ; PVμ  RT.
Отсюда:
2
(11)
PV  N A W  RT .
3
Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения
молекул W непосредственно связана с параметрами состояния газа (давлением, объемом, температурой).
Из (11) имеем
W 
2 R
T.
3 NA
Поскольку R и N A - постоянные, то и K 
R
NA
(12)
(13)
является постоянной величиной и называется постоянной Больцмана:
3 Дж
R 8,31  10
кмоль  К  1,38  10 23 Дж .
K

26
NA
6,02  10 кмоль 1
К
(11) может принять вид:
2
(14)
W  KT .
3
Следовательно, средняя кинетическая энергия является функцией
только температуры и не зависит от массы молекулы.
Из уравнения (14) можно сделать весьма важный вывод: абсолютная
температура есть величина, пропорциональная средней кинетической
энергии движения молекул, находящихся в единице объема.
Этот вывод раскрывает смысл молекулярно-кинетического определения температуры как меры средней кинетической энергии молекул, а абсолютная шкала температур приобретает непосредственный физический смысл.
Согласно формуле (14) при абсолютном нуле поступательное движение должно
прекратиться.
Предположение, сделанное при выводе основного уравнения кинетической теории газов, о том, что молекулы совершают только поступательное дви6
жение, уже не выполняется при низких температурах, т.к. все вещества с понижением температуры переходят в конденсированное состояние. Следовательно,
теряют смысл выводы, сделанные на основе кинетической теории газов.
Отметим, что кинетическая энергия - величина существенно положительная, поэтому отрицательных температур быть не может.
Из формулы (14) и (10) видно, что температура, как и давление, определяется средней кинетической энергией молекулы идеального газа. Поэтому
температура, как и давление, представляет собой статистическую величину, следовательно, бессмысленно говорить о температуре или давлении одной
молекулы или немногих молекул.
Объединяя (14) и (11) в одно, получим:
P
NA
KT  nKT.
V
(15)
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ
Формула (14) определяет энергию только поступательного движения молекулы. Однако, наряду с поступательным движением возможны также
вращения молекул и колебания атомов, входящих в состав молекул. Оба
эти движения связаны с некоторым запасом энергии, определить который позволяет устанавливаемое статистической физикой положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекул.
Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых можно задать положение
системы.
Так, положение в пространстве материальной точки полностью определяется заданием значений 3-х ее координат (например, x, y, z - декартовых или
r, , - сферических). В соответствии с этим материальная точка имеет 3 степени свободы.
В молекулярной физике, так же как и в механике, неизбежно приходится
схематизировать изучаемые явления и пользоваться моделями, упрощенно
изображающими строение вещества.
Простейшей моделью газа является идеальный газ. Это такая модель, в
которой молекулы принимаются за материальные точки, не взаимодействующие между собой на расстоянии. Следовательно: суммарным объемам
молекул можно пренебречь по сравнению с объемом занимаемого газом сосуда.
7
Модель молекулы идеального газа - материальная точка. Материальная
точка имеет 3 степени свободы поступательного движения. Поэтому кинетическая энергия молекулы идеального газа может быть представлена суммой энер2
mvx2 mvy mvz2


гий
, соответствующим трем составляющим скорости ее дви2
2
2
жения относительно трех координатных осей. Из-за хаотичности движения молекул и
одно направление их движения не имеет преимущества перед другими и поэтому средние значения кинетической энергии по всем трем направлениям одинаковы:
m vx
2
m vy2
m vz2
.


2
2
2
Так как средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
1
3
m v 2  KT , то на долю каждой из составляющих движения приходится одинаковая
2
2
1
средняя кинетическая энергия KT .
2
В первом приближении двухатомную молекулу можно представить в виде двух
жестко связанных между собой атомов. Такая система имеет пять степеней свободы, из
которых три поступательные и две вращательные.
При взаимных столкновениях двухатомных молекул энергия вращательного движения молекулы может увеличиваться за счет энергии поступательного движения другой молекулы, либо наоборот. Таким путем устанавливается равновесие между средними знаниями энергии поступательного и вращательного движений молекул газа.
Так как при хаотическом движении ни один из видов движения не имеет преимущества перед другими, то можно считать, что средняя энергия, приходящаяся на каждую
1
KT .
2
Предположение о том, что на любую степень свободы молекулы в среднем
степень свободы вращательного движения, будет также
приходится одинаковая кинетическая энергия, часто называют законом равнораспределения энергии по степеням свободы.
Молекула двухатомного газа обладает средней кинетической энергией:
1
1
1
5
(16)
W  3 KT  2 KT  2 KT  KT .
2
2
2
2
Система из трех жестко связанных между собой материальных точек, не
лежащих на одной прямой, имеет 6 степеней свободы: 3 - поступательных; 3 вращательных.
8
Эти же шесть степеней свободы присущи любой молекуле, содержащей
более трех атомов.
3
3
(17)
W  KT  KT  3KT .
2
2
Модель молекулы, представляющая собой систему жестко связанных материальных точек, пригодна лишь тогда, когда не учитывают энергию колебания атомов в молекуле. Для учета этой энергии нужно перейти к другой модели
молекулы в которой атомы связаны между собой упругой связью, например,
пружиной, позволяющей совершать колебательные движения.
Колебательное движение всегда связано с переходом кинетической энергии в потенциальную и обратно. В этом случае нужно учитывать не только
среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну колебательную степень свободы, но и соответствующую среднюю потенциальную энергию.
Предположим, что колебания атомов, например, в 2-х атомной молекуле,
происходит по гармоническому закону. При гармонических колебаниях средние значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы. Следовательно, можно считать что на колебательную степень свободы приходится в
1
среднем 2 KT : одна в виде кинетической энергии, другая - в виде потенци2
альной.
Иначе говоря, колебательная степень свободы обладает вдвое большей
энергетической емкостью по сравнению с поступательной или вращательной.
Учитывая все это выражение для средней кинетической энергии молекулы можно преобразовать:
i
(18)
W  KT .
2
Здесь i- сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы;
(20)
i  iпост  iвращ  iкол .
4. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Полная энергия тела складывается из кинетической энергии движения тела
как целого E к , из потенциальной энергии его во внешнем поле сил E п и внутренней энергии тела U:
9
E  Eк  Eп  U .
(20)
Под внутренней энергией тела обычно подразумевают кинетическую
энергию хаотического (теплового) движения его частиц и их взаимную потенциальную энергию.
В зависимости от характера движения и взаимодействия частиц, образующих тело, внутренняя энергия включает в себя:
1. кинетическую энергию хаотического движения молекул,
2. потенциальную энергию взаимодействия между молекулами,
3. кинетическую и потенциальную энергию колебательного движения
атомов в молекуле,
4. внутриатомную энергию.
Во многих физических явлениях, рассматриваемых в молекулярной физике, внутриатомная энергия не изменяется и поэтому ее часто не учитывают.
В идеальном газе молекулы не взаимодействуют друг с другом на
расстоянии, и его внутренняя энергия определяется лишь кинетической
энергией хаотического движения молекул.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молеку-
1
KT . Умножив эту энергию на число Авогадро N A ,
2
получим значение внутренней энергии одного моля идеального газа
лы идеального газа равна
i
i
U μ  W N A  N A KT  RT .
2
2
Внутренняя энергия произвольной массы идеального газа:
U
m
mi
Uμ 
RT ,
μ
μ2
(21)
(22)
где m – масса газа,  - масса моля газа, R – универсальная газовая постоянная.
Следовательно: внутренняя энергия данной массы идеального газа зависит только от
его температуры и не зависит ни от давления, ни от объема.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Развитая Ломоносовым молекулярно-кинетическая теория получила признание лишь спустя IOO лет, когда в конце XIX в. появились работы Р.
Клаузиуса, Д. Максвелла, Л. Больцмана и другие.
10
С этого времени молекулярно-кинетическая теория прочно утверждается
в физике, хотя и не все ученые ее признавали. Например: Э.Мах, В. Оствальд и
другие отрицали реальность существования атомов, считая их «плодом человеческой фантазии». Больше того, В. Оствальд в своих работах пытался свести
все многообразие явлений природы к энергетическим представлениям. Окончательным подтверждением молекулярно-кинетической теории послужили работы
французского физика Ж. Перрена, исследовавшего в 1908 году броуновское
движение.
11