«Уравнение параболы как геометрического места точек» Проектная работа по математике на тему

1
Проектная работа по математике на тему
«Уравнение параболы
как геометрического места точек»
Авторы:
Горемыкина Валерия,
Шалюта Галина,
Овсянников Егор,
Тихонов Кирилл, 9 класс
Руководители:
Ленчевская Людмила Ивановна,
Басманова Людмила Евгеньевна
2011
2
Содержание
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
3
ВВЕДЕНИЕ
4
1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ
КАК ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК
5
2. АВТОРСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ ФОКУСИРОВАТЬ
ПУЧОК ЛУЧЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСИ ПАРАБОЛЫ
7
3. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ ФОКУСИРОВАТЬ ПУЧОК ЛУЧЕЙ,
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСИ ПАРАБОЛЫ
10
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
11
ЛИТЕРАТУРА
12
3
Цель работы
- получение уравнения параболы как геометрического места точек
равноудалённых от заданных прямой и точки и доказательство свойства
параболы фокусировать пучок лучей параллельных оси параболы.
Для достижения этой цели были определены следующие задачи:
- изучение научной литературы касающейся определения параболы;
- изучение разделов истории математики, в которых есть упоминание о
параболе;
- развитие творческих способностей, математической интуиции;
- приобретение навыков научной работы;
- приобретение опыта публичных выступлений.
4
Смышленость учеников растет постоянно
во время их математических занятий.
Писарев Д.И.
Введение
В
школьном
курсе
математики
достаточно
подробно
изучается
квадратичная функция и квадратная парабола, которая рассматривается как
график квадратичной функции. Но существует еще одно, геометрическое
определение параболы, как геометрического места точек, равноудаленных от
заданной прямой и заданной точки. В математической литературе приведены
различные способы вывода формулы параболы исходя из ее геометрической
интерпретации. Авторы работы описывают свое решение этой задачи.
Получив уравнение параболы, авторы решили расширить свое исследование
и самостоятельно доказали важнейшее свойство параболы: фокусировать
пучок лучей, параллельных ее оси. Во второй части работы приведено
оригинальное и остроумное авторское доказательство этого известного
свойства параболы. В третьей части работы рассматривается возможность
применения в технике свойства параболы фокусировать параллельные ее оси
лучи.
5
1.Вывод уравнения параболы
как геометрического места точек
Определение:
параболой называется геометрическое
равноудаленных от прямой и не лежащей на ней точки.
место
точек
Рисунок 1.
Пусть на плоскости дана прямая ℓ и не лежащая на ней точка M. Пусть
расстояние от точки M до прямой ℓ равно 2 m.
Расположим оси координат в соответствии с рисунком 1: ось абсцисс
параллельна прямой ℓ на расстоянии от неё m (прямая ℓ проходит через
точку (0; -m) ), ось ординат проходит через точку M.
Пусть точка A (x; y) равноудалена от прямой ℓ и точки M, т.е. AM = AB (AB
перпендикулярно оси абсцисс). Проведем MD перпендикулярно AB. Тогда в
прямоугольном треугольнике AMD:
MD = x,
6
AD = y –
m.
По теореме Пифагора получим:
AM2= MD2 + AD2 = x2 + (y – m)2 .
По рисунку 1 AB = y + m.
Так как AM= AB, то AM2 = AB2,
тогда x2 + (y– m)2 = (y + m)2,
x2+y2 – 2my + m2 = y2 + 2my + m2,
x2 + y2 – 2my + m2 – y2 – 2my – m2 = 0,
x2 – 4my = 0,
4my = x2,
y = x2/(4m)
(1)
Так как точка A взята произвольно, то координаты любой точки,
равноудаленной от заданной точки (M) и заданной прямой (ℓ ), связаны
между собой полученным выражением (1). Это уравнение называется
уравнением параболы (с вершиной в начале координат).
При m = 1/4 получим y = x2, при m = 1 получим y = x2/4.
Точка M называет фокусом параболы, а прямая ℓ – директрисой.
Покажем, как в уравнении параболы (1) связан коэффициент при x2 (1/4m)
с расстоянием фокуса параболы (точки M) от оси x (m).
Пусть1/(4m) = k, k>0. Тогда уравнение (1) примет вид y = kx2 (2).
Так как k =1/(4m) ,то km = 1/4 , m= 1/(4k)
То есть связь между m и k – обратная пропорциональность. Графиком,
отображающим связь между m и k, является гипербола (Рис.2).
7
Рисунок 2.
Чем меньше k, тем выше фокус параболы: при k=4 m= 1/16,
при k= 1/10 m=2,5.
2. Авторское доказательство свойства параболы
фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы
Парабола обладает следующим свойством:
луч света, параллельный оси симметрии параболы, т.е. оси ординат,
отражаясь от “зеркала” параболы (кривая y = x2/(4m) ) ,проходит через
фокус параболы (точка M).
Докажем это свойство.
8
Рисунок 3.
На рисунке 3 луч света, параллельный оси ординат, удалён от этой оси на
расстояние xo. Этот луч падает в точку A параболы. Прямая y = kx + b
касается параболы в точке A. Следовательно, координаты точки
A (xo ; xo2/(4m) ). Требуется доказать, что луч, отражаясь от касательной к
параболе в точке A, проходит через точку M ( фокус параболы).
На рисунке 3 угол CAD – угол падения луча. Соединим точку A с точкой M и
докажем, что угол MAE равен углу CAD и, следовательно, в соответствии с
законами физики , является углом отражения луча CA.
Обозначим ∠CAD = α , ∠MAE = γ.
Тогда ∠BAE = ∠CAD = α как вертикальные углы. Требуется доказать,
что γ = α.
Так как точка A (xo ; xo2/(4m) ). принадлежит касательной y = kx + b, то
координаты точки A, подставленные в это выражение, обращают его в
верное равенство:
xo2/(4m) = kxo + b.
Отсюда b = xo2/(4m) – kxo.
Тогда уравнение касательной примет вид y = kx + xo2/(4m) – kxo.
y = k (x – xo) + xo2/(4m).
9
Так как каcательная имеет только
система уравнений
одну общую точку с параболой, то
 y = x2/(4m) ,

 y = k (x - xo) + xo2/(4m)
имеет только одно решение.
x2/(4m) = k (x - xo) + xo2 /(4m),
x2/(4m) – kx +kxo – xo2 /(4m) = 0, | • 4m
x2 – 4mkx +4mkxo –xo2 = 0.
Квадратное уравнение имеет единственное решение, когда его
дискриминант равен нулю.
D1 = 4m2k2 – 4mkxo +xo2 = 0,
(xo – 2mk)2 = 0,
xo – 2mk = 0,
k = xo/(2m).
Как известно, угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона
этой прямой к положительному направлению оси абсцисс, т.е. k = tg β =
xo/(2m).
Из прямоугольного треугольника ABE следует, что tg β = АВ/ВЕ,
tg α = ВЕ/АВ. Следовательно, tg α = 1 /tg β =2m /xo.
–
Пусть ∠MAE = γ , тогда tg (γ + α) =(tg γ +tg α) / (1– tg γ • tg α ) =
=( tg γ +2m/xo ) / (1– (2m/xo ) tg γ).
Из ΔMAN получим :
tg (γ + α) = MN / AN= MN / ( A B – MO ) = xo / ((xo2 /(4m) – m ).5552
Следовательно, ( tg γ +2m/xo ) / (1– (2m/xo ) tg γ) = xo / (xo2 /(4m) – m ),
10
отсюда xo (1– (2m/xo ) tg γ) = (xo2
/(4m) – m ) ( tg γ +2m/xo ),
xo – 2m • tg γ = xo2 • tg γ /(4m) + xo / 2 – mtg γ – 2m2/ xo,
tg γ (m + (xo2 /(4m) ) =2m2/ xo, + xo / 2 ;
tg γ (m + (xo2 /(4m) ) = (4m2 +xo2) / 2xo,
tg γ (4m2 +xo2) / 4m = (4m2 +xo2) / 2xo;
tg γ = 2m/xo.
Следовательно, tg γ = tg α =2m/xo . Так как α и γ – острые углы, то,
следовательно, α = γ.
Значит, ∠MAE является углом отражения, так как по законам физики угол
падения луча равен углу отражения луча АС. Мы доказали, что луч света,
идущий параллельно оси y на расстоянии xo от неё, попадает в точку A,
отражается от этой точки и проходит через точку M. Так как абсцисса xo
взята произвольно, то все лучи, параллельные оси y, отражаясь от
поверхности параболы, попадут в точку M. По этой причине точка M названа
фокусом параболы.
3. Применение свойства параболы фокусировать
пучок лучей, параллельных оси параболы
При вращении параболы вокруг своей оси образуется параболоид. Любая
прямая, параллельная оси симметрии параболоида, после отражения от его
поверхности, проходит через фокус параболоида. Это свойство параболоида
фокусировать лучи, параллельные его оси. Поэтому, чтобы изготовить
зеркало, собирающие солнечные лучи в одной точке, надо отшлифовать его
по параболоиду вращения. Если направить такое параболическое зеркало на
Солнце, то все отраженные от поверхности параболоида лучи пройдут через
его фокус. Температура в фокусе окажется настолько большой, что с
помощью солнечных лучей можно будет не только вскипятить воду, но даже
11
расплавить свинец и т.д.. Отсюда происходит и само название «фокус»,
что в переводе с латинского означает «очаг». По дошедшей до нашего
времени легенде, с помощью таких вогнутых параболических зеркал
Архимед сжег вражеские римские корабли. Это же свойство фокусировать
пучок параллельных оси параболоида лучей или радиоволн используется в
конструкциях приемных антенн космической связи, в зеркалах телескопов. В
прожекторах, автомобильных фарах, фонариках обычно применяют зеркало
параболической формы, в фокусе которого помещают источник света. В
результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света.
Аналогично устроен направленный микрофон. Если стенам помещения
придать форму параболоида, то они будут способны усиливать звуки,
источник которых находится в его фокусе .
Но если прожекторы, телескопы, микроскопы, локаторы – творения рук
человека, то глаз – это удивительное творение природы. Хрусталик глаза –
самонастраивающийся прибор, он позволяет нам видеть близкие и далекие
предметы. Хрусталик то сжимается в шарик, то растягивается в эллипсоид,
тем самым меняя фокусное расстояние.
Заключение
Работа посвящена интересной теме: квадратная парабола. Центральным
вопросом работы является собственный авторский вывод уравнения
параболы как геометрического места точек и заслуживающее внимания
оригинальное доказательство свойства параболы фокусировать пучок лучей
параллельных оси параболы. Авторы смогли по-новому взглянуть на
казалось бы давно изученный раздел математики и нашли своё интересное
решение при выводе формулы и ,особенно ,при доказательстве свойства
12
параболы.
Работу
отличает самостоятельность, чёткость, умение
убедительно и красиво проводить доказательства.
Литература
1. Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), М., Советская
Энциклопедия, 1982.
2. А. А. Акопян, А. В. Заславский. Геометрические свойства кривых
второго порядка. М., Издательство МЦНМО, 2007.
3.Энциклопедия для детей .Том 11. Математика. Аванта+,2002.
13
4. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.,
Педагогика-Пресс, 1999.
5. Э.Кольман. История математики в древности. М., Издательство
физико-математической литературы, 1987.
6. Р. Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? М., Просвещение, 2003.
7. Интернет сайты: www.dic.academic.ru, www.uztest.ru.