Практические занятия 1-2 1 Растяжение-сжатие

Практические занятия 1-2
1 Растяжение-сжатие
11
Задача 1.1 Призматический стальной стержень с модулем упругости E  2 10 Ïà прямоугольного поперечного сечения шириной b  2ñì и высотой h  4ñì , имеющий длину
3
h
L  3.5ì , нагружается продольной растягивающей силой P  8 10 êÃ(рис. 1.1). Вычислить растягивающее напряжение, деформацию в поперечном сечении стержне и общее
его удлинение.
m
m-m
P
P
b
m
δ
L
Рис. 1.1 Расчётная схема
Решение
1. Осевая сила в любом сечении стержня:
3
Nz  8  10 êÃ
Nz  P
2. Площадь прямоугольного поперечного сечения, шириной b  0.02m и высотой
h  0.04m :
A  b h
A  8 ñì
2
3. Напряжение в сечении стержня определяются формулой (1.1):

Nz

z
A
или, т.к. ÌÏà

3 êÃ
2
z  1  10
6
 10 Pa

ñì
z  98.066ÌÏà
4. Общее удлинение стержня определится формулой (1.5):

© Учебный
Nz L

E A

 1.716ìì
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
.
5. Деформация в любом поперечном сечении стержня, согласно (1.2):


z  L

4
z  4.903 10
Ответ: напряжение  z  98.066ÌÏà ,
4
деформация  z  4.903 10
удлинение   1.716ìì
,
êÃ
Задача 1.2 На короткую стальную трубу (  y  2800
) действует сжимающая нагрузка
2
ñì
P  125 Ò. Коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести ny  1.8.
Найти наименьший допустимый внешний диаметр трубы, если толщина её стенки
1
составляет одну восьмую внешнего диаметра: 
D
8
m
m-m
P
P
D
δ
m
L
Рис. 1.2 Расчётная схема
1. Условие прочности запишется:

Таким образом, решая уравнение
max
P

A
Given


w
P
A
y
ny

y
ny
,
получим для наименьшей площади значение
A  Find(A)
2
A  80.357cm
2. Выражение для площади трубы через внутренний d и внешний D диаметры
запишется:
 D2 d2    D2   d  2
1     ,
A  
 
4
4
4


  D 
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
а по усовию задачи
d
D
D  2 
D
1  2

D
1  2
1
8
3
4
и, следовательно, площадь поперечного сечения стержня:
A

2
2
D 
3 

 1    
4 
 4 
7
2
 D
64
откуда получаем для наименьшего внешнего диаметра трубы:
D 
64 A
7 
D  15.3cm
Ответ: наименьший внешний диаметр трубы D  15.292cm
Стальной ступенчатый брус (рис. 2.1) защемлён одним концом. Брус нагружён силами Р1,
Р2, ..., Р5.
Требуется определить реакцию опоры и построить эпюры осевых сил N, напряжений
s и перемещений границ участков u.
1 Приложенные
силы
RA
l1/2
Pj 
l1
400
P1
 êÍ
0
-300
P2
P3
di 
1.5
ì
6
0.5
4
- модуль упругости стали
l3
l3/2
E  2  10  ÌÏà
Рис. 1.1 Расчётная схема
© Учебный
8
1
δ
P5
li 
0
5
P4
3. Диаметры
на участках
l2
l2/2
700
2. Длины
участков
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
 ñì
Решение
1. Определение реакции опоры.
RA 
j Pj
RA  800  êÍ
2. Осевая сила в сечении определяем методом сечений, проводя сечение на
участках между приложенными силами. T
Nn  RA 
N  ( 800 400 400 700 0 0 )  êÍ
Pj  (j  n)
j
3. Площадь поперечного сечения.
 di 
Fi     
2
2
T
F  ( 50.265 28.274 12.566 )  ñì
2
4. Нормальные напряжения.
n

Nn
if n  3 F1 if n  5 F2 F3

T
 ( 159.155 79.577 141.471 247.574 0 0 )  ÌÏà
5. Осевая деформация на участке.
_ n

n
E
6. Длины расчётных участков.
l1 
l2 l3 

Ll n  if  n  3  if  n  5    
2
2 2 


T
Ll  ( 0.75 0.75 0.5 0.5 0.25 0.25 )  ì
7. Удлинения расчётных участков.
L n
 _ n Ll n
L
T
 ( 0.597 0.298 0.354 0.619 0 0 )  ìì
8. Перемещение сечений.
u1  0 ì un1  un  L n
© Учебный
T
u  ( 0 0.597 0.895 1.249 1.868 1.868 1.868 )  ìì
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
9. Построение графиков.
Напряжения МПа
Осевая сила N, кН
Nk 
Геометрия бруса

 êÍ
800
k 
159
800
159
400
80
400
141
700
248
0
0
0
0
Перемещения u, мм
Геометрия бруса
 ÌÏà
Границы участков, м
zk 
uk 
0
 ìì
0
ì
0.75
0.597
1.5
0.895
2
1.249
2.5
1.868
2.75
1.868
3
1.868
Задача 2.2 На стойку действует нагрзка P1  60Òи P2  70Ò(рис. 2.1 а). Верхняя часть
имеет длину L1  60ñì и квадратное поперечное сечение со стороной квадрата a1  7.5ñì .
Нижняя часть имеет длину L2  75ñì и квадратное поперечное сечение со стороной квад6 êÃ
рата a2  12.5ñì . Полагая, что модуль упругости E  2 10
, построить эпюры осевых
2
ñì
сил, напряжений и перемещений поперечных сечений.
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Р1
σ кГ/см2
N Т
1067
0,632
а1
60
u мм
Р2
130
0,312
а2
832
а
б
в
г
Рис. 2.1 Расчётная схема и результирующие эпюры
Решение
1. Пользуясь методом сечений (рис. 2.2), определяем осевые силы в поперечном сечении
стержня:
P1
на первом участке (рис. 2.2 а)
P1
N1  0Ò
Given
N1  P1 0
N1  Find N1
на втором участке (рис. 2.2 б)
 
P2
N1
N2  0Ò
Given N2  P1  P2
 
0 N2  Find N2
N2
а
б
Рис. 2.2 Определение осевой силы
2. Напряжение на участке i ( i  1  2) стойки определяется формулой
Ni
2
где Ai  ai - площадь поперечного сечения на i - ом участке стойки
i
© Учебный центр
Ai «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
N1  60 Ò
N2  130 Ò
Таким образом, напряжения

i
Ni
Ai
 1067 êÃ

 832  ñì 2


3. Изменение длины (укорочение) участков
i

N i  Li

E Ai
4. Перемещение сечений стойки
íèæíåãî
u3  0ìì
 0.32 
  ìì
 0.312

u2  u3   2
u1  u2   1
5. Построение графиков искомых величин
k  1  3
точки приложения силы Р2
âåðõíåãî
i
zk  


(i  k)  Li


N4k  if k
Геометрия стойки
 7.5 


2D   7.5   ñì
 12.5


 0 


z   60   ñì
 135


© Учебный
M  max(a)  0.01ìì
3 N1 N3k
Осевая сила N, Т
 60 


N   60   Ò
 130


 4k
 if k
a1 a2 

Dk  if  k  2   
2 2

3  1  3k
Напряжения s, кГ/см2

 1067

 êÃ
  1067 
2
 832  ñì


центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Перемещения u, мм
 0.632


u   0.312  ìì
 0 


Задача 5.2 Определить из условия прочности и жёсткости диаметр стального вала,
вращающего гребной винт моторного катера. Мощности двигателя N  60 ëñ при
êÃ
1
ãðàä
числе оборотов n  240
. Дано:  w  400
,  w  1
,
2
ìèí
ì
ñì
6 êÃ
.
2
G  0.8 10 
ñì
Решение
1. Определим момент, возникающий на валу:
N
T 
4
T  1.79 10  êÃ ñì
2   n
2. Из условия прочности

Tmax
 w
W
max
ãäå Tmax  T
3
 

W
16 Tmax
d
,
3
d
16
- полярный момент сопротивления, определяем
диаметр
 6.109ñì

Принимаем
w
dïð  6.12ñì
3. Условие жёсткости запишется:

Tmax
 w
G I
max
где I

4
d
32
- полярный момент инерции
Таким образом, диаметр вала определится из последнего неравенства формулой:
4
d
32 Tmax
G    w
 6.012ñì

Принимаем
dæ  6.02ñì
4. Из двух значений диаметра: а) из условия прочности dïð  6.12ñì
 ; б) из условия
жёсткости dæ  6.02ñì
 принимаем максимальное - из условия прочности: d  dïð
© Учебный
Ответ: диаметр вала гребного винта принимается из условия
прочности равным d  6.12 ñì
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé