УДК 539.124.6:539.189.2:541.6:621.382 СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ПОЗИТРОНАМИ И ЭЛЕКТРОНАМИ. I. ПОЗИТРОНЫ И

УДК 539.124.6:539.189.2:541.6:621.382
СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ПОЗИТРОНАМИ И ЭЛЕКТРОНАМИ. I. ПОЗИТРОНЫ И
ПОЗИТРОНИЙ, ПОЗИТРОННЫЕ И ПОЗИТРОНИЕВЫЕ КОМПЛЕКСЫ В ТВЕРДЫХ
ТЕЛАХ
Е.П.Прокопьев
Федеральное Государственное Унитарное Предприятие «Государственный Научный центр
Российской Федерации- Институт теоретической и Экспериментальной Физики им.
А.И.Алиханова», ФГУП ГНЦ РФ – ИТЭФ, 117218 Россия, Москва, ул. Б.Черемушкинская, 25
2
Московский Государственный Институт Электронной техники (технический университет),
МИЭТ, 124498 Россия, Москва, г.Зеленоград, проезд 4806, д.5
1
Введение
1. Квантовополевая теория систем многих электронов и позитронов в твердом теле
2. Электроны и позитроны в кристаллической решетке: формулировка проблемы многих
тел. Приближение Хартри-Фока
3. Электроны и позитроны в кристаллической решетке. Теорема Блоха
4. Метод эффективной массы
5. Функции Ванье: волновые пакеты из функций Блоха электронов и позитронов
6. Электроны, позитроны, дырки в кристалле
6.1 Электронные дырки в кристалле
6.2 Взаимодействие между электронами, дырками и позитронами
7. Экситоны, атом Ps и позитрон-экситонные комплексы
8. Модель Френкеля атома позитрония малого радиуса
Важнейшей проблемой физики медленных позитронов является построение строгой теории
аннигиляции в кристаллических твердых телах (см., например, [1]). Поэтому в данном
исследовании сформулируем проблему многих электронов и позитронов в твердом теле с
помощью перехода от вторичного квантования к конфигурационному представлению по методу
Фока [2], использованного работах [3-7].
Вначале приведем методы расчетов стационарных состояний систем из n электронов и m
позитронов во внешнем поле и
поле кристаллической
решетки
[4] и
вероятностей
аннигиляционных переходов в этих внешних полях [3,8].
Квантовополевая теория систем многих электронов и позитронов в твердом теле.
Известно, что связь между конфигурационным пространством и вторичным квантованием по
Фоку [2] дается следующим образом. Гамильтониан с неопределенным числом частиц в рамках
метода вторичного квантования имеет вид [4]
1

H    ( x ) H ( x ) ( x )dx 
1
  ( x )  ( x )G( x, x ) ( x ) ( x )dxdx  ,
2

(1)
где  ( x ) и   ( x ) - операторы уничтожения и рождения фермиевского поля. Они
удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям
 ( x )  ( x )    ( x ) ( x )   ( x  x )
(2)
 ( x ) ( x )   ( x ) ( x )  0
Здесь   1 соответствует случаю бозонов, а   1 - фермионов. В том случае, если оператор
числа частиц

nˆ    ( x) ( x)dx
(3)
диагонален, то операторы  и   имеют не равные нулю матричные элементы (n |  | n  1) и
( n  1 |   | n) , где
0...(0 |  | 1)..........0.............0........
 ( x) 
0.........0...........(1 |  | 2)
0.........0................0.......(2 |  | 3)...
(4)
0.........0................0.............0..........
......0...................0...............0..............0.
(1 |   | 0)...........0...............0..............0.
 ( x )  ......0............(2 |   | 1)........0...............0 ..
(5)

.......0...................0.......(3 |  | 2).......0
.
Вектор состояния по Фоку, на который действуют операторы рождения и уничтожения частиц
 и   имеет вид
2
const

 ( x )

1


 ( x1 , x 2 )  ,




 ( x1 ,... x n ...)
(6)
где каждый элемент столбца представляет собой волновую функцию Шредингера в пространстве с
определенным числом частиц
Выпишем действие операторов (n |  | n  1) и (n  1 |   | n) по Фоку на волновую функцию
 ( x1 , x 2 ..., x n )
( n  1 |  | n) ( x1 ,..., xn )  n ( x1 ,..., xn1 ) ,
( n  1 |   | n ) ( x1 ,..., x n ) 
n 1

n
1
n 1
 ( x k  x ) ( x1 ,..., x k 1 , x k 1 ,... x n ) ,
(6)
(7)
k 1
( n |   ( x ) ( x ) | n) ( x1 ,..., x n ) 
n
 ( x
k
 x ) ( x1 ,..., x k 1 , x , x k 1 ,... x n ) ,
(8)
k 1
( n |  ( x )  ( x ) | n) ( x1 ,..., x n )   ( x   x ) ( x1 ,..., x n )  
n
 ( x
k
 x ) ( x1 ,..., x k 1 , x , x k 1 ,... x n ) ,
(9)
k 1
Квантованное уравнение движения имеет вид
H ( x ) ( x )  [ H 0 ( x)  V ( x )] ( x )  i

t
(10)
Здесь H ( x )  H 0 ( x )  V ( x ).
Именно из этого уравнения можем получить уравнение Шредингера в конфигурационном
пространстве для
системы с определенным числом частиц. Гамильтониан взаимодействия
электронов во внешнем поле равен

H    ( x )H ( x ) ( x )dx 
e2
2


( x )  ( x )
1
 ( x ) ( x )dxdx 
| r  r|
(11)
Из выражения (11) находим энергию системы с определенным числом частиц n .

W  Wn | H | Wn    ( x1 ,..., xn )(n | H | n) ( x1 ,..., xn )dx1 ...dxn
(12)
3
 1 ( x1 )... 1 ( x 2 )... 1 ( x3 )...
1  2 ( x1 )... 2 ( x 2 )... 2 ( x 3 )...
1
 ( x1 , x 2 ,... x n ) 

 i ( xk )
n!  3 ( x1 )... 3 ( x 2 )... 3 ( x3 )...
n!
i ,k 1, 2... n
(13)
........................................
Таким образом
W 
n

  i H ( x)dx 
i 1
e 2  ( x, x ) ( x , x ) |  ( x, x ) |2
dxdx 
2
| r  r |

(14)
Минимизируя функционал W  0 с учетом ортонормированности


i ( x)
 j ( x)dx   ij
(15)
получаем уравнения Фока

2
H ( x)  e


1
 j ( x ) j ( x )dx  i ( x ) 


j 1 | r  r |
n

n

  e  | r  r  |
1
2
j 1


j ( x ) i ( x )dx  


 j ( x) 

(16)

n
 
ij
j ( x ),
j  1,2...n
j 1
Выражение (16) и есть уравнения Фока в конфигурационном пространстве в произвольном
внешнем поле. Использование этих уравнений (наиболее строгих) в проблеме твердого тела
чрезвычайно затруднено. Полезно изложить основные черты математического формализма
получения
этих
уравнений
для
систем
со
многими
позитронами
и
электронами
в
конденсированных средах и твердом теле в приближении метода Хартри-Фока [5].
Для этого изложим формализм вторичного квантования, обычно проводимый в два этапа. Для
этого вначале рассмотрим «классическое поле», а затеи его квантование. В качестве классического
волнового уравнения выбираем уравнение Шредингера
 2 2


  V ( x )  i

t
 2m

(17)
4
и комплексно сопряженное ему уравнение
 2 2
 *
 *



V
(
x
)



i



t
 2m

(18)
Выпишем функцию Лагранжа, а также уравнение Лагранжа, которые приводят к уравнениям
(17) и (18)
 
2 2 
L   * i
 V ( x ) 
  dx
2m
 t


(19)
Отсюда следует

d L
L
2 2 




i



V
(
x
)


 0,

dt  *  *
2m


(20)
то есть это просто уравнения (17) и (18).
Канонически сопряженный импульс  введем как произвольную функцию Лагранжа

L

   * ,

i
(21)
Таким образом, получаем функцию Гамильтона из функции Лагранжа посредством соотношения


2 2
H  (  L)d 3 x  i *  i *   *
    *V d 3 x
2m




(22)
Отсюда находим явный вид первично квантованной функции Гамильтона
 2 2

H    ( x ) 
  V ( x ) ( x )d 3 x ,
 2m


(23)
Заметим, что в данном случае волновые функции  и  * представляют собой «классические
поля». Разложим амплитуду поля по собственным функциям волнового уравнения Шредингера
5
 
 2 2

  V    i

t
 2m

(24)
i

(25
Эти функции записываются в виде
   exp(  E  t )  ( x )
Отметим, потенциал V не зависит от времени.
Разложим теперь волновую функцию  ( x ) по этим собственным функциям   . Запишем
временной множитель в виде
i 
a  (t )  a  (0) exp t 
 
(26)
Отсюда разложение волновых функций  и  * принимают следующие значения
 ( x )   b   ( x ) ,
(27)
 * ( x )   b * ( x ) ,
(28)


Полезно напомнить, как получаются перестановочные соотношения для амплитуд a . Для этого
введем вакуумное состояние  0 и a  - оператор рождения. Тогда формально можно создать две
частицы в одном и том же состоянии  через a  a  0 . Естественно, что
a  a  0  0
(29)
Требование (29) должно соблюдаться не только для  0 , но и для любого  , так что
a  a   0
(30)
Отсюда легко постулируются перестановочные соотношения для ферми-частиц для амплитуд поля
6
a  a  a a   0 ,
(31)
a  a  a a     ,
(32)
a  a  a a     ,
(33)
Так как полевые операторы  ( x ) и   ( x ) связаны с операторами a  и a  через разложения (27),
(28), то перестановочные соотношения (31)-(33) имеют своим следствием перестановочные
соотношения для  и  * вида (2) и наоборот.
Таким образом, оператор Гамильтона оказывается равным
 2 2

H    
  V ( x )d 3 x 
 2m


 E  a  a 

(34)
При этом уравнение Шредингера для квантованного состояния имеет вид
H  E ,
(35)
a 0  0
(36)
причем
и
 ( n )  ( a  )   
n

(37)
Энергия E дается выражением
E
E  n , где n  0 или 1


(38)
Полное число частиц равно
7
N
 n
(39)
Далее рассмотрим наиболее общее одночастичное состояние, задаваемое суперпозицией
одночастичных состояний

причем
C a  



(40)
0
| C  |  1 является еще произвольным. Перейдем вновь к представлению состояния  .


2
Очевидно, что

a     ( x )  ( x )d 3 x
(41)
Подставляя (41) в (40), получаем

Функция
f (x )
  C  ( x )

( x )d 3 x 
 f ( x)

( x )d 3 x  0
(42)
удовлетворяет обычному одночастичному уравнению Шредингера. Далее
подставим одночастичные функции (42) во вторично квантованное уравнение Шредингера (35).
Имеем
 2 2

H    ( x ) 
  V ( x )) ( x )  f ( x )  ( x )d 3 x  0
 2m



(43)
С учетом перестановочных соотношений
  ( x ) ( x ) 0    ( x) ( x  x ) 0    ( x ) ( x  x ) 0
получаем из (43)
H 


 2 2



f ( x )  ( x ) 
  V ( x )) ( x )  ( x  x )d 3 xd 3 x  0

 2m



(44)
8
Это выражение преобразуется к виду
 2 2

H    ( x ) 0  
  V ( x ))  f ( x )d 3 x
 2m


(45)
 2 2

 
  V ( x ))  f ( x )  Ef ( x )
 2m

(46)
Легко видеть, что
Теперь рассмотрим наиболее общее состояние двух частиц

 C C a  a  


1
2
1

2
(47)
0
1 2
Как и ранее

  C C   ( x )  ( x )
1
2
1
2

( x )  ( x ) 0 d 3 xd 3 x  
 f ( x, x )

( x )  ( x )d 3 xd 3 x  0
(48)
1 2
Причем
f ( x, x )   f ( x , x )
(49)
Выберем
 2 2

1
H    ( x ) 
  V ( x )) ( x )  ( x )d 3 x 
2
m
2





 ( x) ( x )
e2
 ( x ) ( x )d 3 xd 3 x 
| x  x |
(50)
Тогда нетрудно показать, что функция f ( x, x ) удовлетворяет уравнению Шредингера для двух
частиц
 2 2 2 2
e2
 
 x1 
 x2  V ( x1 )  V ( x2 ) 
2m
| x1  x2
 2m

 f ( x, x )  Ef ( x, x )
| 
(51)
9
Можно легко обобщить этот результат для n частиц
n

2
   2m 
j 1 
2
xj

2 2
e2
 x2  V ( x j )  V ( x2 ) 
2m
i  j | xi  x j


 f ( x1 , x2 ,... x n )  Ef ( x1 , x2 ,... x n )
| 
(52)
Развитый выше формализм позволяет нам сформулировать задачу и для системы m
нерелятивистских позитронов.
Рассмотрим теперь систему из n электронов и m позитронов в кристаллической решетке
твердого тела в приближении Хартри-Фока.
2. Электроны и позитроны в кристаллической решетке: формулировка проблемы многих тел.
Приближение Хартри-Фока
Сформулируем проблему многих электронов и позитронов в твердом теле с помощью метода
вторичного квантования. Представим себе следующую картину: электроны и позитроны движутся
в строго периодической решетке, ионы которой имеют бесконечно тяжелые массы. Иными
словами можно считать, что они находятся в состоянии покоя. Принимаем далее, что электроны
внутренних атомных оболочек учитываются в целом тем, что они вместе с положительно
заряженными атомными ядрами создают эффективный, периодический с периодом решетки
потенциал V .
Естественно, что позитроны в основном движутся по периферии атомов кристалла в силу
электростатического отталкивания ядер. Оператор Гамильтона для электронов и позитронов
состоит из четырех частей: кинетической энергии электронов (позитронов), потенциальной
энергии взаимодействия между электронами (позитронами), кулоновской энергии взаимодействия
между электронами (позитронами) и кулоновского взаимодействия электронов с позитронами.
Соответствующее уравнение Шредингера будет иметь вид
   2 2


1
e2
  V p ( x ))  ( x )d 3 x 
  ( x )  ( x )
 ( x ) ( x )d 3 xd 3 x  
 ( x ) 
2
| x  x |
 2m




  E 



2


e

  ( x )  ( x )d 3 xd 3 x 
  ( x ) ( x )

| x  x |



(53)

10
   2 2


1
e2
  V p ( x ))   ( x )d 3 x 
  ( x )   ( x )
 ( x )  ( x )d 3 xd 3 x  
  ( x ) 
2
| x  x |
 2m




  E 



2


e

  ( x ) ( x )d 3 xd 3 x 
  ( x )  ( x )

| x  x |



(54)

Причем функции   ( x ), ( x ),   ( x ),  ( x ) являются операторами, удовлетворяющими фермиперестановочным соотношениям типа (31)-(33). Разложим эти операторы по собственным
функциям  k , k* , k , k*
 ( x)   a k  k ( x); ( x)   a k  k ( x )
k
(55)
k
  ( x)   a k  k* ( x );  ( x )   a k  k* ( x)
k
Принимаем,
что
собственные
функции
(56)
k
 k , k* , k , k*
образуют
полный
набор
ортонормированных функций, но их следует оптимизировать так, чтобы они являлись решениями
уравнения Щредингера. Для этого используем метод Хартри-Фока, уже описанный выше.
Создадим некоторое состояние  электронов и позитронов кристалла. Для этого следует
расположить электроны и позитроны один за другим по состояниям
k 1 , k 2 , k 3 ...k n
и
k 1 , k 2 , k 3 ...k  m . Таким образом
  ak1 ak2 ...akm ak1 ak2 ...akn  0
(57)
Используем эту функцию для построения среднего значения оператора Гамильтона H  H   H 
(см.(53) и (54)) с дополнительным условием, что функция состояния нормирована. Далее требуем
условия
  | H |    | H   H  |   min
(58)
с дополнительным условием
   1
(59)
11
и вычислим выражение (58) как функционал  k , k . Затем определяем  k , k с помощью
варьирования.
Для этого подставим (55) и (56) в (53) и (54). Поскольку операторы a  и a не зависят от
интегрирования, волновые функции  k , k коммутируют с операторами, то операторы можно
вынести за знак интеграла. Тогда выражение для оператора Гамильтона принимает вид
H


 2 2

a l a m  l* ( x ) 
  V p ( x )  m ( x )d 3 x 
 2m

l  m


1
e2
a l a m  a m a l  l* ( x ) m*  ( x )
 m ( x ) l ( x )d 3 xd 3 x  

2 l m ,l m
|xx |

a



l  a m a l  a m
l  m ,l  m
*
  l ( x ) m ( x ) m ( x ) m ( x )
e2
 l* ( x ) m ( x )d 3 xd 3 x  
| x  x |

 2 2

a l a m  l* ( x ) 
  V p ( x )  m ( x )d 3 x 
 2m

l  m

1
e2
a l a m  a m a l  l* ( x ) m*  ( x )
 m ( x ) l ( x )d 3 xd 3 x  
2 l m ,l  m
| x  x | 







a l a m a l a m  l* ( x ) m ( x )
l  m ,l  m
(60)
 2 2

  V p ( x ) k ( x ) 

 2m


 
k j
*
k j
e2
 l ( x ) m ( x )d 3 xd 3 x 

|xx |
( x )
   k* j ( x )
k j
e2
 k ( x )d 3 x k ( x ) 
| x  x |  j
e2
 k j ( x )d 3 x  k ( x ) 
| x  x |
 
*
k j
( x )
k j
e2
 k j ( x )d 3 x  k ( x )  E  k ( x ),
| x  x |
Далее следует построить среднее значение этого Гамильтониана на функциях состояния (55), (56).
Используя метод Хакена [4], сразу же получаем
12
  | H |  
 2 2

  V p ( x )  k j ( x )d 3 x 
 2m

   k* j ( x)
k j

*
*
  k j ( x) ki ( x )
e2
 ki ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x  

|xx |

*
*
  k j ( x) ki ( x )
e2
 k ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x  
| x  x  | i

1
2 k  j ,k  i

1
2 k  j ,k  i


k  j ,k  i

*
*
  k j ( x) ki ( x )
 2 2

  V p ( x )  k j ( x )d 3 x 
 2m

   k* j ( x)
k j
( x ) k*i ( x )
e2
 ki ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x  

|xx |
*
*
  k j ( x) ki ( x )
e2
 k ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x  
| x  x  | i
  

1
2 k  j ,k  i

1
2 k  j ,k  i



k  i ,k  j
Здесь
e2
 k ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x  
| x  x  | i
*
k j
*
*
  ki ( x) ki ( x )
суммирование распространяется
(61)
e2
 k j ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x 

|xx |
только на занятые состояния
k 1 , k 2 , k 3 ...k n
и
k 1 , k 2 , k 3 ...k  m .
Условие нормировки используется, как обычно, в качестве дополнительного условия

*
k
 k d 3 x  1 ;

*
k
kd 3 x  1
(62)
Для этого применим обычным образом параметр Лагранжа, который обозначим через E .
Проведение варьирования  / k* и  / k* приводит сразу же к уравнениям
 2 2

  V p ( x ) k ( x ) 

 2m


 
k j
2
*
k j
   k* j ( x )
k j
e2
 k ( x )d 3 x k ( x ) 
| x  x |  j
e
( x )
 k j ( x )d 3 x  k ( x ) 

|xx |
 
k j
*
k j
e2
( x )
 k j ( x )d 3 x  k ( x )  E  k ( x ),

|xx |
(63)
13
 2 2

  V p ( x ) k ( x ) 

 2m


 
k j
   k* j ( x )
k j
e2
 k ( x )d 3 x k ( x ) 
| x  x |  j
2
*
k j
e
( x )
 k ( x )d 3 x  k ( x ) 
| x  x |  j
 
*
k j
k j
e2
( x )
 k ( x )d 3 x  k ( x )  E  k ( x ),
| x  x |  j
(64)
Для интерпретации уравнений самосогласованного поля (63) и (64) рассмотрим входящие в него
отдельные члены.
Первые члены в фигурных скобках в уравнениях (63), (64) представляют потенциальную и
кинетическую энергию электронов и позитронов в периодической решетке кристалла
соответственно. Следующие выражения в уравнениях (63), (64) представляют представляют
произведения искомых функций  k , k и сумм по k  j , k  j
~
~
 k ( x) V ( x), k V ( x)
(65)
Здесь
V ( x ) 

|  k j ( x ) |2

|  k j ( x ) |2
k j
V ( x ) 
k j
e2
d 3 x 
| x  x |
e2
d 3 x 
| x  x |

|  k j ( x ) |2
e2
d 3 x
| x  x |
(66)

|  k j ( x ) |2
e2
d 3 x
| x  x |
(67)
k j
k j
Так как |  k j ( x) |2 и |  k j ( x) |2 имеют смысл плотности заряда для электронов и позитронов, то
суммы по k  j , k  j имеют смысл электростатических потенциалов электронов и позитронов в
состояниях k  j , k  j .
Предпоследние члены в уравнениях (63), (64) имеют вид
V ( x ) 

k j
( x ) Ak j ,k ( x )
(68)
k j
( x ) Ak j ,k ( x )
(69)
k j
V ( x ) 

k j
где
14

e2
 k j ( x )d 3 x  ,
| x  x |
(70)

e2
 k ( x )d 3 x 
| x  x |  j
(71)
Ak j ,k ( x )   k* j ( x )
Ak j ,k ( x )   k* j ( x )
Выражения (68)-(71) характеризуют так называемое обменное кулоновское взаимодействие .
Таким образом, можем записать уравнения (63), (64) в виде
 2 2

~
  V p ( x )  V ( x ) k ( x ) 

 2m

A
 2 2

~
  V p ( x )  V ( x ) k ( x ) 

 2m

A
k  j ,k 
 k j ( x )  E k ( x )
(72)
 k j ( x )  E k ( x )
(73)
k j
k  j ,k 
k j
В реальных условиях экспериментов концентрация позитронов составляет величину ~ 1 см-3,
поэтому уравнение (73) существенно упрощается
 2 2

~
  V p ( x )  V ( x ) k ( x )  E  k ( x )

 2m

(74)
Здесь
~
V ( x )  

k j
|  k j ( x ) |2
e2
d 3 x
| x  x |
(75)
Уравнение Шредингера вида (72) и (73) можно записать в краткой форме
 2 2


H eff
 k  ( x )  
  Veff ( x ) k ( x )  E  k ( x )
 2m

(76)
 2 2


H eff
 k  ( x )  
  Veff ( x ) k ( x )  E  k _ ( x )
 2m

(77)
15
В общем случае можно утверждать, что потенциалы Veff (x ) и Veff (x ) являются функциями,
периодическими с периодом решетки кристалла.
Выше мы никак не уточняли, насколько заполнены получившиеся электронная и позитронная
зоны. Приведенный формализм может быть применен для случая полностью заполненной
валентной зоны и соседней зоны проводимости с одним электроном или позитроном. Например,
для функции избыточного электрона имеем
   ak L {ak L (ak1V ak2V ...aknV 0 )}  ak L V
(78)
Функция избыточного позитрона в свою очередь имеет вид
   a k L V
(79)
Здесь L , L ,V индексы, относящиеся к электронной и позитронной зонам проводимости и
валентной зоны соответственно. Принимаем, что        ak L ak L V V  ak L ak L V . Из этого
уравнения следует вывод о том, что электронная дырка в твердом теле (или просто дырка) никоим
образом не идентична позитрону, как реальной частице.
3. Электроны и позитроны в кристаллической решетке. Теорема Блоха
В выражениях (76) и (77) введем обозначения Veff ( x)  V ( x); Veff ( x  V ( x),

H eff
 H ,

H eff
 H  . Тогда V ( x  l )  V ( x ) , где l - один из векторов решетки, т.е. вектор, проведенный из
одной точки решетки к следующей. Имеем
 2 2

H  k  
  V ( x ) k ( x )  E  k ( x )
 2m

(80)
 2 2

H  k  
  V ( x ) k ( x )  E  k ( x )
 2m

Далее
 k ( x  l )  exp(ik  l ) k ( x ); H  ( x  l )  H  ( x )
(81)
 k ( x  l )  exp(ik  l ) k ( x ); H  ( x  l )  H  ( x )
16
Отсюда
 k ( x)  exp(ik  l )uk ( x); k ( x)  exp(ik  l )uk ( x)
(82)
Подстановка (83) в (82) дает
u k ( x  l )  u k ( x )
(83)
Соотношения (82) и (83) и представляют собой теорему Блоха.
Подставляя (82) в уравнения (80), получаем
 2 2

( k   2ik  grad  )  V ( x )u k ( x )  E k , j u k ( x )

 2m

(84)
Энергию E  на краю зон можно разложить по k  и при малых k  представить в виде
E k  , j   E 0 , j 
 2 k 2
2m*
(85)
4. Метод эффективной массы
 2 2

  V ( x ) k ( x )  E k  k ( x )

 2m

(86)
Здесь
 k  exp(ik  l )
1
N
u k ( x )
Так как
E k  , j   E 0 , j 
 2 k 2
+ (члены высокого порядка, которыми пренебрегаем), уравнение
2m*
Тогда уравнение типа (86)
17
 2 2

  V ( x )  W ( x )  ( x )  E k   ( x )

 2m

сводится к более простой проблеме
 

2 2
E

  V ( x )  W ( x )  ( x )  E   ( x )
 0
*
2m


С учетом сдвига по энергии это уравнение переходит в
 2 2

  W ( x )  ( x )  E   ( x )

*
 2m

(87)
5. Функции Ванье: волновые пакеты из функций Блоха электронов и позитронов
Согласно [5], функции Ванье строятся из блоховских волн
 ( x  l ) 
1
N
 exp(ik l ) exp(ik l ))u


k
( x)
(88)
k
Здесь суммирование распространяется на все значения k  внутри данной энергетической зоны, N
- число элементарных ячеек.
Функции Ванье обладают рядом важных свойств:
1. Функции Ванье описывают, например, локализацию позитрона в окрестности точки l на
протяжении примерно одной постоянной решетки.
Докажем это, приняв, что u k ( x ) не зависит от k  , то есть uk ( x )  u0 ( x ) . В данном случае
суммирование и (88) сразу же выполняется для всего кристалла (с точностью до фазового
множителя)
 ( x  l ) 
1
N
sin( x  l x )
u0 ( x )

a
 sin( y  l y )
 

a
 sin( z  l z )
 

a


sin( x  l x )   sin( y  l y )   sin( z  l z ) 
L 
L 
L

Здесь a - постоянная решетки кристалла, L - линейный размер кристалла. В знаменателе синусы
можно замнить на их аргументы. Тогда
18
 ( x  l ) 
a
u0 ( x ) 
N
 
1
3






sin ( x  l x )  sin ( y  l y )  sin ( z  l z ) 
a
a
a

 
 

(x  lx )
(y  ly )
(z  lz )
(89)
Из этого выражения легко видеть, что функция (89) действительно локализована в области
пространства с размером a .
2. Важным свойством функций Ванье является их ортогональность, т.е. функции Ванье,
локализованные в различных точках l , l  или принадлежащих разным значениям  ,   взаимно
ортогональны.
  ( x  l ) ( x  l )d
*
*

3
x     ll 
(90)
6. Электроны, позитроны, дырки в кристалле
6.1 Электронные дырки в кристалле
Формализм вторичного квантования позволяет очень элегантным образом ввести понятие
дырки как квазичастицы и описать ее свойства. Исходя из заполненной валентной зоны, из
которой удален электрон в состоянии k  . Это незаполненное состояние ведет себя как частица, но
уже с положительным зарядом. Этот процесс математически выглядит следующим образом
 k  a k v  v
(91)
Здесь  v - волновая функция заполненной валентной зоны, a k  v - оператор уничтожения, а  k  волновая функция дырки. Вводим
a kv  d k , a k  d k 
(92)
Причем
d k  v  a k  v  0
(93)
Таким образом состояние  v для оператора d k  представляет вакуумное состояние. С учетом (31)(33) имеем
d l d m   lm  d m d l
(94)
19
В свою очередь повторное применение этих перестановочных соотношений дает нам
d l d m   lm  d m d l d m d l d m   mm ll    mm d l d l 
(95)
  ml  ml   ml  d ml   ml d l d m  d m d m  d m d l d l d m
Подставляя (94) и (95) в электронную часть Гамильтониана, соответствующую электронам
(индексы l и m ), получаем последовательно. Во-первых, у нас появляются члены, которые не
зависят от операторов дырок, а именно символы Кронекера  lm . Отсюда для энергии имеем
некоторое постоянное значение
Ev 

l
1

2
 2 2

1
a l a m  l* ( x )
  V p ( x ) l ( x )d 3 x 
2
 2m

 
lm

   l* ( x) m* ( x )
lm
e2
 m ( x ) l  ( x )d 3 xd 3 x  
| x  x |
(96)
e2
 l* ( x ) m* ( x )
 l ( x ) m ( x )d 3 xd 3 x 
| x  x |
Здесь E v - энергия электронов валентной зоны кристаллов.
Во-вторых, рассмотрим члены в (60), содержащие пары операторов d m d l . Имеем


d m d l
lm
 2 2

  V ( x )  m ( x )d 3 x 
 2m

*
  l ( x )
(97)



 
*
*
m ( x ) m ( x )
m

2
e
 m ( x )d 3 x  m ( x ) 
| x  x |
 
*
*
m ( x ) m ( x )

m

e
 m ( x )d 3 x  m ( x ) d 3 x
| x  x |

2
Здесь суммы по индексам l , m, m относятся ко всей валентной зоне. Можем записать (97) в виде

d d 

m
l
*
l ( x ) H eff
 m ( x )d 3 x
(98)

(99)
l ,m
или иначе

d
l ,m

m d l Em

*
3
l ( x ) m ( x )d x
20
В виду ортогональности волновых функций выражение (97) приводится к виду

d

k  d k  E k  ,v
(100)
k
В третьих, как следует из (95), имеются еще операторы, содержащие производные четырех
операторов дырок, соответствующие кулоновскому взаимодействию между дырками
H g g 

1
d m d l d l d mW (l , m | ml ) ,
2 lm,l m
(101)
где

W (l , m | ml )   l* ( x ) m* ( x )
e2
 m ( x ) l  ( x )d 3 xd 3 x 
| x  x |
(102)
Теперь, объединяя (96), (100) и (101), получаем оператор Гамильтона дырок
H  Ev 
d

k  d k  E k  ,v
k


1
d k ,d k d k d k W ( k 3 , k 4 | k 1 , k 2 )
2 k1 ,k 2 ,k3 ,k41  2 3  4
(103)
Опуская кулоновское взаимодействие между дырками и производя разложение энергии вблизи
точки k  0 в ряд, получаем
E k  ,v  E 0 ,v
 2 k 2

, mv  0
2 mv
(104)
Таким образом, оператор Гамильтона для дырок имеет вид
H

k
d k d k
  2 k 2




E
0
,
v
 2m

v


(105)
Отсюда следует, что дырки ведут себя как частицы с положительной эффективной массой m v .
6.2 Взаимодействие между электронами, дырками и позитронами
Рассмотрим полупроводниковый кристалл, в основном состоянии которого валентная зона
полностью занята электронами, а зона проводимости пустая. Исследуем вопрос о том, какие
21
эффективные взаимодействия следует учитывать, если удалить некоторые электроны из валентной
зоны, то есть создать в ней дырки, в зону проводимости. Причем не обязательно число дырок
равно числу электронов в зоне проводимости. Их число при комнатной температуре может быть
значительно больше за счет ионизации мелких примесных центров. Позитрон вводится в кристалл,
например, из   - радиоактивного источника – изотопа
22
Na и образует в кристалле позитронную
зону проводимости. Пусть такого рода систему описывает уравнение Шредингера
H  E
(106)
с оператором Гамильтона
 2 2

1
H    ( x ) 
  V p ( x )  ( x )d 3 x 
2
 2m


 2 2

   ( x )
  V p ( x )  ( x )d 3 x 
 2m





  ( x)  ( x )
e2
  ( x )  ( x )d 3 xd 3 x  
| x  x |
e2
  ( x )  ( x )
  ( x )  ( x )d 3 xd 3 x 
| x  x |
(107)
Так как мы хотим рассмотреть состояния в валентной зоне и электроны и позитрон в зонах
проводимости в явном виде, разложим операторы поля по собственным функциям валентной зоны
и зон проводимости
  ( x)   a k ,v k* ,v ( x )   a k ,L  k ,L ( x )
k
  ( x)   a k ,v k ,v ( x)   a k ,L  k ,L ( x)
k
(108)
k
(109)
k
  ( x)   a k ,L  k* ,L ( x)
(110)
k
  ( x )   a k ,L  k ,L ( x )
(111)
k
При этом предполагаем, что волновые функции  L,v , L определяются с помощью эффективных
Гамильтонианов
22


H eff
   ( x)  E    ( x); H eff
   ( x )  E    ( x ) ,
(112)
где

H eff

2 2
  Veff
2m
(113)
Условия ортонормированности имеют вид


*
( x) k  , j ( x)d 3 x
k ,i


  k k   ij ;  k* ,i ( x) k  , j ( x)d 3 x   k k  ;
 


(114)
 
В соответствии со слагаемыми, входящими в (107), разложим оператор Гамильтона на отдельные
части


H  H 0  H 0  H int
 H int
(115)
Подставляя разложения (108)-(111) в соответствующие разложения, получаем выражения для
H 0 , H 0
H 0 
 2 2

a k ,i a k  , j  k* ,i ( x )
  V p ( x ) k  , j ( x )d 3 x,

 2m

k  ,k  ,i , j


(116)
H 0 

k  ,k  , L , L

a k ,i a k  , j  k
 2 2

(
x
)
  V p ( x )  k  ,L ( x )d 3 x

 ,, L
 
 2m

Заметим, что ввиду трансляционной симметрии задачи, двойное суммирование по k  , k  переходит
в однократное. Третье слагаемое, стоящее в (115), после подстановки разложений (108)-(111)
принимает вид

H int


1
a a a a
2 k1k  2 k 3k 4 k1, j1 k 2 , j2 k 3, j3 k 4 , j4
*
*
  k1,, j1 ( x ) k2,, j2 ( x )
e2
 * ( x ) k* 4 ,, j4 ( x )d 3 xd 3 x ,
| x  x  | k 3,, j3
(117)

H int


1
a a a a
2 k1k  2 k 1k 2 k1, L k 2 , L k1 j1 k 2 j2
 
*
k 1,, L
( x ) k
 2 , , L
( x )
2
e
 * ( x ) k 2 ,, j2 ( x )d 3 xd 3 x 
| x  x  | k1,, j1
23
В дальнейшем вместо электронных операторов валентной зоны вводим операторы дырок
ak
 ,v
 d k , a k ,v  d k


(118)

Далее несколько упростим наши обозначения, а именно, опустим у операторов, относящихся к
электронам проводимости и позитрону, индексы L и L :
ak
 , L
 a k ; a k ,L  a k ; a k




 , L
 a k ; a k ,L  a k




Сделаем необходимое допущение о сохранении количества дырок, электронов и позитронов, то
есть рассмотрим стационарные состояния системы. Акты аннигиляции позитронов и дырок на
начальном этапе не учитываем. К тому же пренебрегаем виртуальными переходами,
обусловленными перекрыванием волновых функций валентной зоны и зоны проводимости (так
называемые поляризационные эффекты). Дальнейший формализм расчета состоит в том, что
согласно (118), вводятся операторы дырок, затем оператор Гамильтона преобразуется таким
образом, чтобы операторы уничтожения стояли справа. Проведем в H 0 , H 0 следующие
опрощения и преобразования:
для i  j  L : a k ,L a k ,L  a k a k
(119)
для i  j  v : a k ,v a k ,v  1  d k d k
(120)
для i  j  v : a k ,L a k ,L  a k a k
(121)


В H int
необходимо учесть все возможные комбинации индексов, таких как
, H int
1. Все индексы принадлежат электронной зоне проводимости
j1  j2  j3  j4  L
(122)
2. Все индексы принадлежат валентной зоне
j1  j2  j3  j4  v
(123)
24
3. Все индексы принадлежат валентной зоне и два – зоне проводимости, то есть
j1  j4  v ; j1  j4  L ; j2  j3  L ; j2  j3  v ,
(124)
а также следующие комбинации индексов
j1  j3  v ; j1  j3  L ; j2  j4  L ; j2  j4  v ,
(125)
которые дают равным образом одинаковые вклады. Введем краткое обозначение матричного
элемента, описывающего кулоновское взаимодействие
 

*
( x ) k* j
k 1,, j1
 2 ,, 2
e2
( x )
 k j ( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x   W
 4 ,, 4
| x  x  |  3 ,, 3
k 1 k 2 k 3 k 4
(126)
j1 j2
j3 j 4
Верхний ряд индексов в W и W относятся к векторам k  , а нижний ряд W к индексам зоны
проводимости или валентной зоны. Индексы j1 , j2 принимают естественно значения L , L , либо
v, v .
Рассмотрим матричный элемент кулоновского взаимодействия для позитрона
 
*
k 1,, L
e2
( x ) k L ( x )

( x ) k j ( x )d 3 xd 3 x   W
1,, 
 4 ,, 4
| x  x  | k3,, j3
k 1 k 2 k 3 k 4
(127)
j3
j4
Опять-таки индексы j3 , j4 принимают естественно значения L , L , либо v, v .


Согласно комбинации индексов имеются разные вклады в операторы взаимодействия H int
,
, H int
а именно: взаимодействия в зоне проводимости и взаимодействия между зоной проводимости и
валентной зоной

H int
 H L L  H L L  H Lv  H vv

H int
 H L L  H Lv
(128)
(129)
25
Итак, в соответствии с (128) и (129) получаем следующие вклады:
1. Взаимодействие между электронами проводимости
H L L

1

a a a a W
2 k1...k 4 k1 k2 k3 k4
k 1 k 2 k 3 k 4
(130)
L L L L
2. Взаимодействие между электронами проводимости и позитроном
H L L

1

a k a k a k a k W
2 k1...k 2 k #..k 4 1  2  #  4
k 1 k 2 k 3 k 4
(131)
L L L L
3. Взаимодействие между дырками в валентной зоне
H vv

1

d d d  d  W
2 k1...k 2 k3k 4 k1 k 2 k3 k 4
k 1 k 2 k 3 k 4
(132)
vv
vv
Перенесем в данном выражении операторы уничтожения направо и проведем соответствующие
преобразования. Тогда H vv можно представить в виде
H vv 

1
( k k  k k  k k  k k  k k d k d k   k k d k d k   k k d k d k   k k d k d k 
1  3
4
2
3 4
3
1
1  4
3
2
2 k1..k 2 k 3k 4  2  3 1  4 1  3  2  4  2  3  4 1
(133)
k 1 k 2 k 3 k 4

d k d k d k d k W
3
4
1
2
vv
vv
Рассмотрим отдельные члены в выражении (133) от A до G, причем для этого необходимо
вычислить множитель W в (133). Член А дает кулоновское взаимодействие в заполненной
валентной зоне и экспериментально не наблюдаем. Член В характеризует кулоновское обменное
взаимодействие в заполненной валентной зоне, в то время как член С дает взаимодействие дырок с
валентными
электронами,
а
Д
представляет
соответствующее
кулоновское
обменной
взаимодействие. Последние члены совпадают с предыдущими: Е=Д и F=C. Члены С и Д, как
видели ранее, участвуют в определении волновых функций зоны с помощью метода
26
самосогласованного поля, т.е. в данном случае они для нас не интересны, за исключением члена G.
Тогда имеем
H vv
k 1 k 2 k 3 k 4

1

d k d k d k d k W
2 k1..k 2 k 3k  4  3  4 1  2
VV
(134)
VV
4. Взаимодействие между электронами проводимости и дырками
Согласно табличкам 128) и (129) в них присутствуют два разнородных члена. Исследуем
выражение,
H LV
1

2
a
k 1 k 2 k 3 k 4
k 1 j1
ak
 2 j2
ak
 3 j3
ak
 4 j4
,
W
j1 j2
(135)
j3 j1
где на индексы j1 ... j4 наложены ограничения (128) и (129). Рассмотрим вклады по следующей
схеме
LVVL  a k a k d k d k ;VL LV  a k a k d k d k
(136)
LVLV  - a k a k d k d k ;VLVL  a k a k d k d k
(137)
1
1
4
3
2
3
3
1
4
2
4
4
2
1
3
3
Можно легко показать, что вклады в (135) от комбинаций (136) и (137) идентичны внутри
себя. Для этого надо изменить в сумме (135) следующим образом: k 1 заменим на k  2 , k  2 на k 1 ,
k  3 на k  4 и k  4 на k  3 . Тем самым вторая строка в (135) переходит в новый матричный элемент
k 1 k 2 k 3 k 4
k 2 k 1 k 4 k 3
W
W
LV
VL
,
VL
(138)
LV
причем в явном выражении для матричного элемента следует поменять координаты x  x  .
Таким образом, матричные элементы в (138) равны друг другу. То же самое относится и к
(137). Таким образом для дальнейшего, если ограничиться первыми членами в (136) и (137), а
оставшие комбинации учтем просто введением в сумме (135) множителя 2. Выражение для
27
взаимодействия согласно первой строке (136) можно преобразовать с помощью перестановочных
соотношений для дырок. При этом получаем
H L(1V)

k 1 k 2 k 3 k 4

a k a k
1
4
 k 2 k3 W
k 1 ... k  4


LV
k 1 k 2 k 3 k 4
a k a k d k d k
1
4
3
2
 k 2 k3 W
k 1 ... k  4
VL
,
LV
(139)
VL
Первая сумма в (139) описывает взаимодействие электронов в зоне проводимости с заполненной
валентной зоной. Это видно, если несколько преобразовать это выражение, используя стоящие в
них символы Кронекера. Тогда для первой части выражения (139) получаем
H L(1)V


a k a k
1
4
W
K
k 1k  4
k 1 k  k  k 4
,
(140)
LV VL
Для того, чтобы сделать это выражение физически ясным, воспользуемся видом W ,
представленным в (126). После чего получаем
W
K
k 1 k 2 k 3 k 4



(
x
)

 , L


  k*
LV
VL

k
( x )
,V
K
2


e2
  2 2
d 3 x 
  V p ( x ) k ,L ( x )d 3 x ,
 
| x  x |


  2m
(141)
Как раз это выражение в (135) и определяет собой энергию взаимодействия электронов
проводимости с заполненной валентной зоной. Второе выражение в (136), относящееся к (135),
описывает уничтожение и последующее рождение дырки и одновременно тем самым уничтожение
и последующее рождение электрона и одновременно тем самым уничтожение и последующее
рождение электрона. Это выражение таким образом описывает рассеяние электрона на дырке,
которое обусловлено кулоновским взаимодействием. Это рассеяние в рамках нашего формализма
заключено в выражении W . Аналогичным образом опишем взаимодействие в (135), которое
обусловлено (137). Отсюда сразу получаем
H L( 2)V


k 1 ... k  4
k 1 k 2 k 3 k 4
a k a k
2
4
 k1k3W

VL
VL

k 1 ... k  4
k 1 k 2 k 3 k 4
a k a k d k d k W
2
4
3
4
,
VL
(142)
VL
Первую сумму в этом выражении можно интерпретировать как обменное взаимодействие
электронов в зоне проводимости с заполненной валентной зоной, а вторя сумма (наиболее важная)
28
описывает кулоновское взаимодействие (обменное) между электронами в зоне проводимости и
дыркой. То, что здесь действительно речь идет об обменном взаимодействии, становится ясным,
если исследовать явное выражение для W . При этом следует, что для равных значений k  в зоне
проводимости, т.е. для k  2  k  4 , появляется смешанная зарядовая плотность.
5. Взаимодействие позитрона с электронами проводимости и электронами полностью заполненной
валентной зоны
Сразу же можем записать
H L L  
k 1 k 2 k 3 k 4

a k a k a k a k W
1
2
#
4
k 1...k  2 k  #..k  4
;
L L L L
(143)
k 1 k 2 k 3 k 4

H LV 
a k a k a k a k W
1
2
#
4
k 1...k  2 k  #..k  4


L L VV
k 1 k 2 k 3 k 4
a k a k d k d k W
1
2
3
$
k 1...k  2 k  #..k  4
L L VV
В выражении (143) первый член соответствует кулоновскому взаимодействию позитрона в зоне
проводимости с электронами полностью заполненной валентной зоны, а второй член отвечает
кулоновскому взаимодействию позитрона с дырками в валентной зоне.
Для полной ясности объединим полученные выше результаты в общий оператор Гамильтона
для электронов, дырок и позитрона в кристалле
H  H 0  H int  H e  H p  H h  H eh  H ep  H ph  H ee  H hh  WF
(144)
Рассмотрим вклады, соответствующие (144)
He 

k
a k a k


 *

 2 2


(
x
)
  V p ( x )  k ,L ( x )d 3 x  
 k ,L  
 


 2m



k 

k  k  k  k 

W

LV VL

k  k  k  k  

W

, (145)
VL VL 
Этот член описывает энергию электронов в зоне проводимости (однако без учета взаимодействия
электронов с электронами, дырками и позитроном). Это выражение обсуждалось уже ранее.
Для позитрона имеем
29
Hp 

k


 2 2



a k a k   k* ,L ( x ) 
  V p ( x )  k ,L ( x )d 3 x 


 
 
2
m







(146)
Этот член описывает энергию позитрона в позитронной зоне проводимости. Для дырок получаем
Hh 

k
d k d k


 *

 2 2


(
x
)
  V p ( x )  k ,V ( x )d 3 x  
 k  ,V  



 2m



k 

k  k  k  k 

W
 VV VV

k  k  k  k  

W

 , (147)
VV VV

И это выражение мы уже рассматривали ранее.
Взаимодействие между электронами и дырками описывается выражением
H e h 

k 1 k 2 k 3 k 4
( 1)a k a k d k d k W
1
4
3
2
k 1 ...k  4

LV
VL

k 1k 2 k 3 k 4
a k a k d k d k W
2
4
3
1
k 1 ...k  4
,
VL
VL
(148)
В свою очередь взаимодействие между электронами и позитроном определяется выражением
H e p  

a k a k a k a k
1
2
#
4
k 1...k  2 k  #..k  4

k 1k 2 k 3 k 4
k 1k 2 k 3 k 4

W
W

L L L L
L L L L






(149)
Взаимодействие между позитроном и дырками описывается выражением
k 1 k 2 k 3 k 4

H p h  
a k a k d k d k W
1
2
#
4
k 1...k  2 k  #..k  4
(150)
L L VV
Три последних члена в (144) интерпретируются следующим образом.
Во-первых, это электрон-электронное взаимодействие в зоне проводимости
H ee

1

a k a k a k a k W
2 k1...k 4 1  2 3  4
k 1 k 2 k 3 k 4
(151)
L L VV
30
Во-вторых, это взаимодействие между дырками в валентной зоне
H hh

1

d k d k d k d k W
2 k1...k 4 3  4 1  2
k 1 k 2 k 3 k 4
(152)
VV
VV
В- третьих, это постоянный член, который не содержит никаких операторов
WF 

k  k  k  k 
 *
 1
 2 2



3 
  V p ( x )  k ,V ( x )d x  
  k ,V ( x ) 
W

2
m

 2 k ,k 


 VV VV
 
k

k  k  k  k  

W

,
VV VV

(153)
который описывает энергию валентной зоны.
Отметим, что записанные выше выражения (145), (146) и (147) представляют средние значения
энергий электронов, позитрона и дырок: E k ,L , E k ,L , E k ,V . Можно принять для реальных условий
экспериментов, что электроны, позитрон и дырки находятся вблизи краев зон. Поэтому
используем разложения
Ek
Ek
 2 k 2

,
2mL
(154)
 , L
 E0,L
 , L
 E0,L 
 2 k 2
,
2mL
(155)
 E 0,V 
 2 k 2
,
2mV
(156)
Ek
 ,V
В рамках рассмотренной задачи решим проблему экситона, атома позитрония ( Ps ) и позитронэкситонного комплекса.
7. Экситоны, атом Ps и позитрон-экситонные комплексы
Рассмотрим вначале проблему позитрон-экситонного комплекса в кристалле, т.е. систему,
сосоящую из взаимодействующих между собой электрона, позитрона и дырки. Будем исходить из
оператора Гамильтона системы электронов, позитрона и дырок в обозначениях Хакена [5]
31
H tot  W F 

k


2 2

 E0,L   k 


2mL

a k a k d k a k
1
4
#
4
k  ... k  4


k
2 2

 E 0,L   k 


2mL

 
a a 
 k k

k 2 k 1 k 3 k 4 

W


VV
VV


L L


k
 
d k d k 
  

k 1 k 2 k 3 k 4
1

d d d d W
2 k1 ... k 4 k3 k 4 k1 k 2
k 1k  2 k  3k  4


 2 k 2
  E 0,V 

2mV


k 1 k 2 k 3 k 4

W

LV VL

1
a k a k a k a k W
2 k1 ... k 4 1  2  #  4

 
a a 
 k k

L L
k 1 k 2 k 3 k 4


VV
VV
k 1k  2 k  3k  4
k 1 k 2 k 3 k 4
a k a k a k a k W
1
4
#
2

LV
VL
k 1 k 2 k 3 k 4
a k a k a k a k W
1
4
#
2

k 1k  2 k  3k  4

L L
L L
k 1 k 2 k 3 k 4
(157)
a k a k d k d k W
1
4
#
2
LV
VL
В этом выражении первый член представляет собой энергию полностью заполненной зоны,
второй член
представляет кинетическую энергию электрона (индекс L ), третий член –
кинетическую энергию дырок в валентной зоне (индекс V ), четвертый - кинетическую энергию
позитрона в позитронной зоне проводимости (индекс L ), пятый член описывает взаимодействие
между дырками и электронами, шестой член – взаимодействие между электронами в зоне
проводимости, седьмой член – взаимодействие между дыркам в валентной зоне, восьмой член
описывает взаимодействие электронов проводимости (индекс L ) и позитроном в позитронной
зоне проводимости (индекс L ) и, наконец, девятый представляет энергию взаимодействия
позитрона позитронной зоны проводимости (индекс L ) и дырками в валентной зоне (индекс V ).
Следовательно задача позитрон-экситонного комплекса заключается в решении уравнения
Шредингера
H tot   E
(158)
Приведем это решение в явном виде для случая одного электрона, позитрона и дырки.
Волновые функции электрона в состоянии k 1 , позитрона в состоянии k 1 и дырки в состоянии k  2
можно получить из состояния, описывающего полностью заполненную валентную зону,
последовательным действием операторов рождения a k1 , a k1 , d k2 на функцию заполненной зоны
V
32
a k a k d k V
1
1
(159)
2
Следует отметить, что в общем случае k 1  k 1 .
Из выражения (159) следует, что электрон, дырка и позитрон, пролетая друг относительно
друга, испытывают естественно взаимное рассеяние, в результате чего попадают во все
возможные различные конечные состояния k 1 , k 1 . Поэтому следует образовать сумму по всем
состояниям k 1 , k 1 электрона, позитрона и дырки. Исходя из этого соображения, подход к системе
позитрон-экситонного комплекса будет основан на волновой функции


Ck
1 ,k  2 ,k 1
k1 ,k 2 ,k1
Теперь
Гамильтониан
(157)
упрощается,
a k a k d k V
1
т.к.
1
(160)
2
отсутствуют
члены,
соответствующие
взаимодействию электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне.
H tot  WF 

k


a k a k d k d k
1
4
2
3
k  ... k  4

2 2

 E0,L   k 


2mL


k 1k  2 k  3k  4
 
a a 
 k k


k

 2 k 2
  E0,V 

2mV


k 1 k 2 k 3 k 4

W

LV VL


L L
L L

k
2 2

 E0,L   k 


2mL

 
a a 
 k k

k 2 k 1 k 3 k 4 

W


VL VL

k 1 k 2 k 3 k 4
a k a k a k a k W
1
4
#
2
 
d k d k 
  


k 1k  2 k  3k  4
(161)
k 1 k 2 k 3 k 4
a k a k a k a k W
1
2
3
4
LV
VL
Оператор (161) разложим, как обычно, на две части: кинетическую энергию электрона, позитрона
и дырки и взаимодействия между ними (при этом, чтобы опустить член W F в (161) сдвинем
соответствующим образом энергию E ).
H tot  H k  H eh  H ep  H ph
(162)
Учитывая явный вид H k в (161) и волновой функции (160), получаем
33


  2 k 21  2 k 21  2 k 22




 consta k a k d k V ,
,
k
,
k
1 1  2 
 1 1  2
2mv
 2mL 2mL

 E0,L  E0,v
Ck
k 1 ,k 1 ,k  2
const  E0,L
(163)
В свою очередь запишем правую часть выражения (158) в явном виде
E  E

Ck
1 ,k 1 ,k  2
V ,
k 1 ,k 1 ,k  2
(164)
H e h

k 1 k 2 k 3 k 4


W
k 1 ... k  4 
LV VL


k 2 k 1 k 3 k 4 

W
C k ,k  ,k ,k  a k a k d k d k a k a k a k a k V

 1 1 
1
2
3


4


k ,k1 ,k1 ,k
VL VL


С помощью фермиевских перестановочных соотношений можем значительно упростить
выражение (164), перетащив все операторы уничтожения направо и учтя также, что действие на
 V электронных, позитронных и дырочных операторов дает нуль. Поменяв индексы 3,2,4 местами
(2 на 4, 3 на 2, и 4 на 3 – во втором члене (163), можем записать выражение (164) в виде
H eh   

k  ,k  2 ,k  3 ,k  4
C k ,k  ,k ,k a k a k d k V
 1  31  4
1
1
2

k 1 k 2 k 3 k 4
k 2 k 1 k 3 k 4

W
W
k 1 ... k  4 
LV VL
VL VL




 (165)


Далее

k 1 k 2 k 3 k 4

H p h   
W
k 1 ,k  2 ,k  3 ,k  4 
L L VL




C k ,k ,k  a k a k d k d k a k a k a k a k V 

1  
1
4
2




3
k ,k ,,k 4


(166)


k 1k 1k  2 k  3k  4 k  4
k 1 k 2 k 3 k 4
Ck
 4 ,k  3 ,k  4
L L
L L
И, наконец
34

k 1 k 2 k 3 k 4

H p h   
W
k 1 ,k  2 ,k  3 ,k  4 
LV VL




C k k k  a k a k d k d k a k a k a k a k V 

  
1
4
2




3
k ,k ,k


(167)
k 1 k 4 k 2 k 3


C k ,k ,k a k a k d k V
4 3 4
1
1
2
k 1k 1k  2 k  3k  4 k  4
LV
VL
Можно видеть, что в выражениях (164), (165)-(167) появились линейные комбинации
волновых функций, которые имеют вид (159). Причем известно, что функции вида (159) взаимно
ортогональны для различных векторов k 1 , k 1 . Тогда уравнение (158), в левой части которого
стоят выражения (163), (165)-(167) может быть удовлетворено, если равны между собой
коэффициенты функций (160). Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для
коэффициентов C k1 ,k1 ,k 2
Ck

  2 k 21  2 k 21  2 k 22




 const 
,
k
,
k
1 1  2 

2mL
2 mv
 2mL


C k ,k k a k a k d k
3 4 4
1
1
2
k  3 ,k  4 k  4



k 1 k 2 k 3 k 4

W
k 1 ... k  4 
LV VL


k 1 k 4 k 2 k 3
Ck
 3 ,k  4 k  4

W
k  3 ,k  4 k  4
L L VL

k 2 k 1 k 3 k 4 

W


VL VL

(168)
k 1 k 4 k 2 k 3
Ck
k  3 ,k  4 k  4
 3 ,k  4 k  4
W
EC k
LV
1 ,k 1 ,k  2
VL
Можно показать, что система уравнений (168) эквивалентна полностью обычному
трехчастичному уравнению Шредингера, причем между электроном, позитроном и дыркой
существует кулоновское взаимодействие. Упростим для этого матричные элементы, входящие в
(168)
k 1 k 4 k 2 k 3

W
L L VL
*
*
  k ,L ( x) k4 ,V ( x )
e2

( x ) k ,L ( x )d 3 xd 3 x 
3 
| x  x  | k 2 ,V
(169)
Используем в (169) для волновых функций в зонах явный вид блоховской волны
35
 k , j ( x )  e ik x u k , j ( x )
(170)
Разложим функции u , зависящие от x, k  в ряд Тейлора по k  (то есть для малых k  ). Имеем в
этом случае
k 1 k 4 k 2 k 3

W

e ik1 x e ik 4 x 
L L VL
 k 1 ( *k u k*
1
1 , L
e2
e ik 2 x e ik3 x {| u0,L ( x ) |2 | u0,V ( x ) |2 
| x  x |
(171)
( x )) k
1 0
u0,L ( x ) | u0,V ( x ) |2 ...}d 3 xd 3 x 
Далее делаем следующие предположения: во-первых, играющая заметную роль значения k 
настолько малы, что из всего ряда Тейлора сохраним лишь первый член. Таким образом в
фигурных скобках выражения (171) оставляем лишь член | u0,L ( x) |2 | u0,V ( x) |2 . Эта функция
периодична с периодом решетки, однако внутри элементарной ячейки она может быстро
осциллировать. Так мы приняли, что важны только малые значения k (то есть | k  |  / l0 , l0 постоянная решетки), то экспоненциальные функции в (171) можно вычислить, усреднив его по
отдельным элементарным ячейкам. Заметим, что блоховские функции должны быть нормированы
в объеме V на единицу. Таким образом, при усреднении появляется множитель 1 / V 2 . После этого
выражение (171) запишем в виде
W

e ik1x ik2 x 
e2

e ik3 x ik2 x e ik4 x d 3 xd 3 x 
| x  x |
(172)
Вторым выражением во втором члене формулы (168) пренебрегаем, который описывает обменной
взаимодействие.
Рассмотри далее матричный элемент W в третьем члене выражения (168)
k 1 k 4 k 2 k 3

W
L L L L
*
*
  k1 ,L ( x) k4 ,L ( x )
e2
 k2 ,L ( x ) k3 ,L ( x )d 3 xd 3 x  ,

|xx |
(173)
где
36
 k ,L ( x )  e ik x u k ,L ( x )
(174)
 k ,L ( x )  e ik x u k  ,L ( x )
После преобразований, описанных выше, для выражения (169) получаем
k 1 k 4 k 2 k 3

W
L L
L L
1
V2

e ik1 x ik  2 x 
e2

e ik 3 x ik 4 x d 3 xd 3 x 
| x  x |
(175)
Матричный элемент, входящий в четвертый член выражения (168), равен
k 1 k 4 k 2 k 3

W
LV
VL
1
V2

e ik1 x ik  2 x 
e2

e ik 3 x ik 4 x d 3 xd 3 x 
| x  x |
(176)
Можно утверждать, что система уравнений (168) с упрощениями (172), (175) и (176) эквивалентна
следующему трехчастичному уравнению
2
2
2

e2
e2
e2
 const   12    22    32 



2mL
2mL
2mv
| x1  x2 | | x1  x3 | | x2  x3

 E1  ( x1 , x 2 , x3 )

 ( x1 , x 2 , x3 ) 
| 
(177)
Для доказательства этого утверждения следует представить волновую функцию  ( x1 , x 2 , x3 ) в виде
 ( x1 , x1 , x1 ) 

k 1 ,k 1k  2
Ck
1 ,k 1k  2
1
exp(ik 1 x 2  ik 1 x1  ik 2 x3 )
V
(178)
Умножим (168) на выражение
1
exp(ik 1 x2  ik 1 x1  ik 2 x3 )
V
(179)
и просуммируем по k 1 , k 2 , k 1 .
Вначале рассмотрим члены, относящиеся к кинетической энергии
37

k 1 ,k 1k  2
Ck

 2 k 21  2 k 21  2 k 22 2 
1

exp(
i
k
x

i
k
x

i
k
x
)
const



3
1 2
1 1
2 3 
1 ,k 1k  2

V
2
m
2
m
2
m
L
L
v




(180)
Так как k 2 exp(ik x ) можно представить в виде
 2
2
2
  2  2  2
y
z
 x

 exp(ik x )   2 exp(ik x ) ,

(181)
то (180) переходит в следующее выражение
 2
2
 2 2 
1

12 
 22 
3
C k ,k k
exp(ik 1 x2  ik 1 x1  ik 2 x3
1 1  2
 2mL

2mL
2mv
V


k1 ,k1k 2

(182)
Согласно (178) это выражение эквивалентно выражению
 2
2
 2 2 

12 
 22 
 3 ( x1 , x2 , x3 )
 2mL

2mL
2mv



(183)
Часть, описывающая электрон-дырочное взаимодействие (168) с использованием (172) после
умножения на (179) принимает вид

Ck
1 ,k 1k  2
k 1 ,k 1k  2

1
1
exp(ik 1 x1  ik 1 x 2  ik 2 x3 )
C k ,k k

3 4 4
V
V2
k  3 ,k 1k  2
(184)

 exp(ik
1 x
 ik 2 x )
2
e
exp(ik 3 x  ik 1 x1  ik 4 x )d 3 xd 3 x 
| x  x |
Теперь соберем вместе все экспоненциальные функции, содержащие k 1 , k 1 , k 2 , и воспользуемся
соотношением
1
exp ik ( x1  x )   ( x1  x ) ( x2  x ) ( x3  x )
V
(185)
38
Ввиду появления  - функций интегртрование в (184) пропадает и выражение (184) переходит
(при x  x1 , x   x 2 ) в выражение
1
e2
C k ,k k exp(ik 3 x1  ik 4 x2  ik 4 x3 )d 3 xd 3 x 
V k  4 ,k  4 k  3  4  4  3
| x1  x2 |

(186)
Но это выражение тождественно совпадает с выражением
e2
 ( x1 , x 2 , x3 )
| x1  x3 |
(187)
Аналогично получаем выражения, входящие в уравнение (177)
e2
 ( x1 , x 2 , x3 )
| x1  x 2 |
(188)
e2
 ( x1 , x 2 , x3 )
| x 2  x3 |
(189)
Заметим далее, что в поляризуемой среде закон Кулона модифицируется с учетом
диэлектрической проницаемости. Следовательно, в выражении (177) в феноменологическом
приближении надо заменить 
e2
| xi  x j |
на 
e2
. То обстоятельство, что в нашем
 | xi  x j |
рассмотрении  не появилось связано со значительным упрощением Гамильтониана, где мы
пренебрегли виртуальными переходами.
Тогда трехчастичное уравнение Шредингера с учетом вышесказанного запишется в виде
 2
2
2 2
e2
e2
e2

12 
 22 
3 


 2mL
2mL
2 mv
 | x1  x 2 |  | x1  x3 |  | x 2  x3



 ( x1 , x 2 , x3 )  E1  ( x1 , x 2 , x3 )
(190)
| 
Уравнение Шредингера представляет собой описание позитрон экситонного комплекса Ванье
большого радиуса. Такого рода система является аналогом систем (комплексов) Уилера [9,10]
(ионы позитрония). Он был открыт в блестящих экспериментах Миллса
[11] относительно
недавно. Обзоры теоретических расчетов такого рода систем был дан ранее в работах [12-20].
39
Сродство к позитрону (электрону) для таких систем составляет величины не менее 0,1 эВ, время
жизни относительно двухквантовой аннигиляции -   5,02  10 10 с.
Заметим, что уравнение (190) для атома Ps большого радиуса в кристалле принимает вид
 2
2
e2

12 
 22 
 2m L
2mL
 | x1  x 2



 ( x1 , x 2 )  E1  ( x1 , x 2 )
| 
(191)
Его решение подробно анализируется в монографиях по квантовой электродинамике (см.,
например, [8]) и в ряде конкретных работ [12-20]. Наряду с приближением (191) представляет
большой интерес проблема атома Ps малого радиуса в кристалле, которую рассмотрим ниже.
8. Модель Френкеля атома Ps малого радиуса в кристалле
В разделе 7 постулировалось утверждение о том, что расстояние между электроном,
позитроном, дыркой велики, так что вполне разумным было разложение операторов поля   ( x ) и
 (x ) по блоховским функциям (волнам). В данном разделе рассмотрим противоположный случай,
когда позитрон и электрон находятся на одном и том же атоме. При этом разложение будем
проводить ьне блоховским волнам, а по атомным функциям, или по функциям Ванье, свойства
которых обсуждались нами ранее. Так мы имеем две зоны – позитронную и электронную зону
проводимости, то введем следующие функции Ванье
l ,L ( x)  L ( x  l ) (позитронная зона проводимости),
(192)
l ,L ( x)  L ( x  l ) (электронная зона проводимости),
(193)
где l - радиус-вектор точки локализации частиц.
Разложение электронных и позитронных полевых операторов   ( x ) ,   ( x ) и   ( x ) ,   ( x ) по
функциям Ванье записывется в виде
  ( x )   a l ,L  L ( x  l );  ( x )   a l,L  L ( x  l )
l
  ( x )   a l ,L  L ( x  l );  ( x )   a l,L  L ( x  l )
l
(194)
l
(195)
l
Операторы al,L и al,L рождают электрон и позитрон в электронной и позитронной зонах
проводимости, а операторы al ,L и al ,L уничтожают их в тех же зонах соответственно.
40
Так как функции Ванье представляют собой ортогональную систему функций, то согласно
выше изложенному al ,L и al ,L удовлетворяют перестановочным соотношениям
a l ,L a l ,L  a l ,L a l ,L  0; a l,L a l,L  a l,L a l,L  0








,
(196)
a l ,L a l,L  a l,L a l ,L   ll  L L




и
a l ,L a l ,L  a l ,L a l ,L  0; a l,L a l,L  a l,L a l,L  0








(197)
a l ,L a l,L


 a l,L a l ,L


  ll  L L
Теперь следует выразить оператор Гамильтона H , как уже делали ранее в п. 7, через операторы
рождения и уничтожения a  , a . Разложим H на два члена H 0 - операторы кинетической энергии
электрона и позитрона в поле заданного атома и H int - кулоновское взаимодействие между
электроном и позитроном. Итак, получаем
 2 2

 2 2

H  H 0  H 0    ( x )
  V p ( x )  ( x )d 3 x    ( x )
  V p ( x )  ( x )d 3 x 
 2m

 2m



(198)


a l,L a m ,L H l ,m,L
l ,m


a l,L a m ,L H l ,m,L
l ,m
Здесь использованы сокращенные обозначения
 2 2

H l ,m,L   L* ( x  l )
  V p ( x ) L ( x  m )d 3 x
 2m

(199)
 2 2

H l ,m,L   L* ( x  l )
  V p ( x ) L ( x  m )d 3 x
 2m

(200)


Если сделать предположение о том, что операторы в фигурных скобках (198) не приводят к
переходам между электронной и позитронной зонам, то преобразовывая соответствующим
образом выражение
H int 


  ( x)  ( x )
e2
  ( x )  ( x )d 3 xd 3 x  ,
| x  x |
(201)
41
получаем
H int 
 l1l 2 l 3l 4



,

 L L L L 

a l1 ,L a l2 ,L a l3 ,L al4 ,L W 
L L L L ,l1l2l3l4

(202)
где
 l1l 2 l 3l 4



e2
*

W


(
x

l
)

(
x

l
)
 L* ( x   l 3 ) L ( x  l 4 )d 3 xd 3 x  ,

L
1
L
2

|
x

x
|
L L L L 
    

(203)
Сделаем упрощения, согласно которым можно пренебречь перекрыванием волновых функций. В
этом случае примем, что l1  l 4  l , а l 2  l 3  l  . При этом уравнение (202) может быть записано в
виде
H int 

ll 
 ll l l




L L L L 
    
a l,L a l ,L a l,L a l ,L W 

ll 
 ll l l



,
L L L L 
    
a l,L a l ,L a l,L a l ,L W 
(204)
где
 ll l l



e2
*


W


(
x

l
)

(
x

l
)
 L* ( x   l ) L ( x  l )d 3 xd 3 x  ,

L
L

|
x

x
|
L L L L 
    

(205)
Таким образом, полный Гамильтониан френкелевской модели атома Ps имеет вид
H 

a l, L a m, L
H l ,m, L 
l ,m

a l, L a m, L
l ,m
H l ,m, L 

l ,l 
 ll l l




L L L L 
    
a l, L a l , L a l , L a l, L a l , L W 
(206)

l ,l 
 ll l l




L L L L 
    
a l, L a l , L a l, L a l , L W 
42
Каждый член Гамильтониана имеет очень наглядный физический смысл: в первой сумме с
членами al,L a m,L один электрон в точке m электронной зоны проводимости уничтожается, а в
точке l вновь рождается; во второй сумме с членами al,L a m,L один позитрон в точке m
позитронной зоны проводимости уничтожается, а в точке l вновь рождается. Эти части
Гамильтониана, следовательно, описывают движение электрона (позитрона) и дырки.
Третий член Гамильтониана (206) не описывает никакого переноса, позитрон остается в точке
l  , а электрон в точке - l . Этот член описывает кулоновское взаимодействие электрона и
позитрона в атоме Ps . Четвертый член с членами al,L al ,L al,L al ,L  al,L al ,L al,L al ,L описывает
уничтожение электронно-дырочной пары в точке l и последующее рождение в точке l  или
наоборот, т.е. описывает совместный перенос позитрона и электрона.
Введем теперь явный вид функции состояния полностью заполненной валентной зоны  g . В
точке l рождается одновременно электрон и позитрон. В силу трансляционной симметрии нашей
задачи должны провести суммирование по всем точкам локализации l с множителем exp(ik l ) .
Волновая функции таким образом запишется в виде

 exp(ik l )a
N
1


l , L a l , L  g
(207)
l
Здесь
Bl  al,L al,L
(208)
есть оператор рождения локализованного в точке l атома Ps . Соответствующий оператор
уничтожения атома Ps есть
al,L al ,L  Bl
(209)
Выразим полный Гамильтониан (206) через операторы Bl и B l . Стоящие в последнем члене
операторы выражаются через оператор Ps следующим образом
al,L al ,L al,L al ,L  (al,L al,L )(al ,L al ,L )  Bl Bl
(210)
43
Таким образом, выражение, описывающее уничтожение
Ps
в точке l и рождение его в точке
l  описывается выражением

l ,l 
 ll l l




L L L L 
    
a l,L a l ,L a l ,L a l,L a l ,L Wˆ 

l ,l 
 ll l l




L L L L 
    
Bl Bl Wˆ 
(211)
Теперь рассмотрим, какой вклад дает третий член в (206). Рассмотрим действие стоящих в нем
операторов на локализованное состояние позитрониевое состояние. Получаем
al,L al ,L al ,L al,L al ,L | am ,L am ,L  g  0 ,
(212)
т.е. при l  m, l   m, l  l  .
При использовании волновой функции (207) из третьего слагаемого (206) следует сохранить
лишь те члены, для которых индексы l и l  равны

 llll




L L L L 
    
a l,L a l ,L a l ,L a l,L a l ,L Wˆ 
l

l ,l 
 llll




L L L L 
    
a l,L a l,L a l ,L a l,L a l ,L Wˆ 

l ,l 
 llll



 (213)
L L L L 
    
Bl BlWˆ 
Это выражение приводит лишь к изменению энергии локализованного состояния Ps и не может
приводить к переходам между различными точками в кристалле. Теперь рассмотрим два первых
члена в (206). Рассмотрим действие типичных операторов из первой суммы на локализованной
состояние
al,L al ,L am ,L al ,L  g  al,L am ,L  l m g
(214)
Учтем лишь члены с l  m , так как в противном случае позитрон и электрон далеко уходят друг от
друга. Следовательно полагаем
H l ,l ,L  E0,L ,
(215)
H l ,l ,L  E0,L ,
(216)
44
Тогда
H

l ,l , L a l , L a l , L
 E0,L
B
l

l  Bl
(217)
l
H

l ,l , L a l , L a l , L
 E0,L
B

l  Bl
l
(218)
l
Таким образом, выражение (206) может быть записано в виде
H
B

l  Bl E 0 ,tot

B

ˆ
l  Bl W (l
 l )
(219)
l ,l 
l
Здесь введены обозначения



E 0,tot  E 0,L  E 0,L  Wˆ 0 , 



 llll




Wˆ 0  Wˆ 

,
L L L L 

    



 ll l l



Wˆ (l  l )  Wˆ 

 L L L L  
     
Покажем теперь, что
(220)
функция состояния (207) является решением соответствующего
Гамильтониана (219) уравнения Шредингера, и определим собственные значения энергии этого
уравнения. Так как

 exp(ik l )B
N
1

l  Bl  g
l
Тогда
45
Wˆ (l  l )B
N
1
H  E0,tot 

l
l
exp(ik l ) g
(221)
l
Второй член в (221) преобразуем так
 exp(ikl )B Wˆ (l  l ) exp(ik (l  l )
N
1

l
l
l
g

1
N
W (k )
(222)
Таким образом
E ( k )  E0,tot  W ( k )
(223)
Если разложить E по волновому вектору k , то, как обычно получаем
E ( k )  E (0) 
2k 2
2m *
(224)
Таким образом мы рассмотрели состояния электронов, дырок, экситонов и атома Ps малого и
большого радиуса. Приступим в следующем разделе к рассмотрению расчетных методов
аннигиляционных характеристик этих состояний различных средах (например, в пылевой
космической плазме и гидридах щелочных металлов).
46
Список литературы
1. PHYSICS WITH MANY POSITRONS”. INTERNATIONAL SCHOOL OF PHYSICS
ENRICO FERMI. 7-17 July – VARENNA –ITALY. Directors: A. P. Mills, A. Dupasquier.
2009.
2. V.A.Fock // Zs. f. Phys. 1932. Vol.75. P.622.
3. Чжан Ли // Диссертация. Л.: ЛГУ, 1956.
4. Г. Хакен. Квантовополевая теория твердого тела. М.: ГИФМЛ, 1980.
5. Прокопьев Е.П. Введение в теорию позитронных процессов в полупроводниках и
ионных кристаллах. М., 1979. 384 с. - Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2837. МРС
ВИМИ “Техника, технология, экономика”. №27. 1980. Сер.”ЭР”
6. Прокопьев Е.П. Позитроны и позитроний в кристаллах. М., 1982. 138 с. - Деп. в ЦНИИ
“Электроника”. Р-3475. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. №8. 1983.
Сер.”ЭР”.
7. Прокопьев Е.П. Исследования позитронных процессов в кристаллах. М., 1982. 60 с. Деп. в ЦНИИ”Электроника”. Р-3556. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”.
1983. Сер.”ЭР”.
8. Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969.
9. J.Wheeler // Ann. N. Y. Acad. Sci, 1946. Vol,48. P.219.
10. Прокопьев Е.П. Комплексы Уилера в полупроводниках. - М., 1979. - 12 с. - Деп. в
ЦНИИ "Электроника". Р-2757. МРС ВИМИ "Техника, технология, экономика". - № 28. 1979. - Сер. "ЭР".
11. Mills A.P. Observation of the Positronium Negative Ion. Phys. Rev. Letters. 1981. Vol. 46,
Number 11. P.717-720.
12. Прокопьев Е.П., Кузнецов Ю.Н., Хашимов Ф.Р. Основы позитроники полупроводников.
М.,1976. 343 с. - Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2073. РИ.77.06.3412.
13. Арефьев К.П., Воробьев С.А., Прокопьев Е.П. Позитроника в радиационном
материаловедении ионных структур и полупроводников. М.: Энергоатомиздат, 1983. 88
с.
14. Е.П.Прокопьев,
С.П.Тимошенков,
В.И.Графутин,
Г.Г.Мясищева,
Ю.В.Фунтиков.
Позитроника ионных кристаллов, полупроводников и металлов. М.: Ред.-изд. отдел
МИЭТ (ТУ), 1999. 176 с.
15. В.И.Гольданский. Физическая химия позитронов и позитрония. М.: Наука, 1968.
16. Прокопьев Е.П. Об аномальных свойствах атома позитрония (Ps) в ионных кристаллах
и полупроводниках // Физика твердого тела. 1977. Т.19. Вып.2. С.472-475.
17. Прокопьев Е.П. Позитроний и его свойства в полупроводниках и щелочно-галоидных
кристаллах // Химия высоких энергий. 1978. Т.12. Вып.2. С.172-174.
47
18. Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П., Варисов А.З. Основы теории позитронных состояний в
ионных кристаллах. - М., 1978. - 292 с. - Деп. в ЦНИИ "Электроника”, Р-2382. Сб.
ВИМИ "Военная техника и экономика". Сер. общетехническая. - № 14. - 1978.
19. Варисов А.З., Арефьев К.П., Воробьев А.А., Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П.
Позитроны в конденсированных средах. - М., 1977. - 489 с. - Деп. в ЦНИИ
"Электроника".
Р-2317.
Сб.
ВИМИ
"Военная
техника
и
экономика".
Сер.
общетехническая. - № 9. - 1978.
20. Прокопьев Е.П. Исследования в области физики медленных позитронов. Позитронная
аннигиляция - новый метод изучения строения вещества. - М., 1986. - 86 с. - Деп. в
ЦНИИ "Электроника". Р-4367. Сб. реф. НИОКР, обзоров, переводов и деп. рукописей.
Сер. "ИМ". - №12. - 1987.
48