Диффузия в неограниченном теле   

Диффузия в неограниченном теле
  x2 
A

c ( x, t ) 
exp 
t
 4 Dt 
c
 2c
D 2
t
x

300
N   cdx
250

c, a.u.
200
 (  x) 2 
N

c ( x,  , t ) 
exp  
4 Dt 
4Dt

150
100
50
0
0
5
X, a.u.
10
Интеграл по источникам
1
c( x, t ) 
4Dt

 (  x) 2 
 f ( ) exp   4Dt d
• фундаментальное решение уравнения
диффузии:
 (  x) 2 
1

G( x,  , t ) 
exp  
4 Dt 
4Dt

Начальные условия
• замена переменной:
z
 x
  x  z 4 Dt
4 Dt
d  4 Dt dz
• тогда:
c ( x, t ) 
c( x,0) 

1

1






f ( x  z 4 Dt ) exp  z 2 dz




f ( x) exp  z 2 dz  f ( x)
Симметричное начальное распределение
• если:
• то:
c( ,0)  c( ,0)
1
c (  x, t ) 
4Dt

 (  x) 2 
c( ,0) exp   4 Dt d 

 (  x) 2 
c( ,0) exp   4 Dt d 

 ( z  x) 2 
1
dz  c( x, t )

c( z ,0) exp  

4 Dt 
4Dt 

1

4Dt
c (  x , t )  c ( x, t )
Симметричное распределение
• Поток через плоскость x = 0:
c
1

x 2 Dt 4Dt
c
x
x 0

 (  x) 2 
c( ,0)(  x) exp   4Dt d
1

2 Dt 4Dt

 2 
c( ,0) exp   4Dt d  0
• (интеграл нечетной функции в симметричных
пределах)
Симметричное распределение
1
c ( x, t ) 
4Dt

 (  x) 2 
c( ,0) exp   4Dt d 
0

 ( x   )2 
 ( x   )2  
1 
d   c( ,0) exp  
d 

  c( ,0) exp  
4 Dt 
4 Dt  
4Dt 


0


 ( x   )2 
 ( x  z)2 
 ( x  z)2 
c( ,0) exp   4Dt d  0 c( z,0) exp   4Dt dz 0 c( z,0) exp  4Dt dz
0

  ( x   )2 
 ( x   ) 2 
1
  exp  
d
c ( x, t ) 
c( ,0)exp  

4 Dt 
4 Dt 
4Dt 0

 
Частные случаи
• Бесконечно тонкий слой
ah
 (  x) 2 
1
N
d
c( x, t ) 
exp  

4 Dt 
4Dt 2h a h

 ( a  x) 2 
N

c( x, t ) 
exp  
4 Dt 
4Dt

Частные случаи
• Бесконечно тонкий слой
• Максимум:
1000
time:
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
800
c, a.u.
600
400
N
cmax (t ) 
4Dt
• Ширина:
200
0
-4
-2
0
2
4
  2 4Dt
x, a.u.
•
Концентрация в произвольной точке x со временем возрастает,
достигает экстремума при t = x2/2D, а затем убывает
Частные случаи
• Бесконечно тонкий слой
•
Концентрация в произвольной точке x = 5
Частные случаи
• Бесконечно тонкий слой
50
x = 5, D = 1
c, a.u.
40
 x 2  1
c
N
x2 
  


exp  
2 
t
4Dt
 4 Dt  2t 4 Dt 
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
time, s
•
Концентрация в произвольной точке x со временем возрастает,
достигает экстремума при t = x2/2D, а затем убывает
Частные случаи
• Бесконечно тонкий слой
x=-(2Dt)1/2
c
0
t
x=0
x=(2Dt) 1/2
c
0
t
c
j
 0
t
x
c
0
t
c
j
 0
t
x
Частные случаи
• Бесконечно тонкий слой
• Поток:
j ( x, t )   D
 x 
c
N


x exp  
x 2t 4Dt
 4 Dt 
2
j (0, t )  0
j ( 2 Dt , t )  max
Частные случаи
• Слой конечной толщины
c0
c ( x, t ) 
4Dt
c0


c0  2

2 


h x
4 Dt
 (  x) 2 
hexp   4 Dt d 
h
h x
4 Dt
2

dz 
exp

z

h x
4 Dt
2

dz 
exp

z

0
2



2
0 exp  z dz 


h x
4 Dt
c0 
h x
hx 
c( x, t )   erf
 erf

2
4 Dt
4 Dt 
Функция ошибок
2

 
2
exp

z
dz

erf(x)
erf ( y) 
y
0
1.0
0.5
0.0
-3
-2
-1
0
-0.5
-1.0
1
2
3
Частные случаи
• Слой конечной толщины
c ( x, t ) 
c0 
h x
hx 
 erf
 erf

2
4 Dt
4 Dt 
1.0
D = 1,
time:
1/64
1/32
1/16
1/8
1/4
1/2
1
0.8
c/c0
0.6
0.4
0.2
0.0
-4
-2
0
x/h
2
4
Частные случаи
• Слой конечной толщины
200
h = 2, x = 5
D=1
c, a.u.
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
time, s
•
Концентрация в произвольной точке x со временем возрастает,
достигает экстремума, а затем убывает
Частные случаи
• Ступенчатое распределение
0
 ( x   )2 
c0
d 
c ( x, t ) 
exp  

4 Dt 
4Dt  
c0 
x 
1  erf

2
4 Dt 
c0
x
c( x, t )  erfc
2
4 Dt
Частные случаи
• Ступенчатое распределение
D = 1,
time:
1.0
1/64
1/32
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
0.8
c/c0
0.6
0.4
0.2
0.0
-4
-2
0
x/h
2
4
c ( x, t ) 
c0
x
erfc
2
4 Dt
Частные случаи
• Ступенчатое распределение
350
300
c, a.u.
250
x = 5, D = 1
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
time, s
•
Концентрация в произвольной точке x со временем возрастает
и в пределе стремится к значению c0/2
Граница
Диффузия в полуограниченном теле
0

 (  x) 2 
 (  x) 2  
1 
c ( x, t ) 
  c1 ( ,0) exp 
d   c( ,0) exp 
d 
4
Dt
4
Dt
4Dt 



 
0


 (  x) 2 
 (  x) 2  
1
c ( x, t ) 
c( ,0) exp 
  c1 ( ,0) exp 
 d

4
Dt
4
Dt
4Dt 0 




c1 ( ,0)  ?
Неизвестная функция должна быть определена из граничных условий
Диффузия в полуограниченном теле
• Непроницаемая граница:
c
j (0, t )   D
0
x x 0


 (  x) 2 
 (  x) 2  
c
1

(  x)c( ,0) exp 
  (  x)c1 ( ,0) exp 
 d

x 2 Dt 4Dt 0 
4 Dt 
4 Dt  


c
x
x 0

 2 
1

 c( ,0)  c1 ( ,0)  exp 
d  0

2 Dt 4Dt 0
 4 Dt 
c1 ( ,0)  c( ,0)


  (  x) 2 
 (  x) 2  
1
c ( x, t ) 
c( ,0)exp 
  exp 
 d

4 Dt 
4 Dt  
4Dt 0

 
Диффузия в полуограниченном теле
c(0, t )  c x0  0
• десорбция:
• (поглощающая граница)
1
c(0, t ) 
4Dt

 2 
0 c( ,0)  c1 ( ,0)exp   4Dt d  0
c1 ( ,0)  c( ,0)

  (  x) 2 
 (  x) 2 
1
  exp  
d
c(0, t ) 
c( ,0)exp  

4 Dt 
4 Dt 
4Dt 0

 
Диффузия в полуограниченном теле
• Десорбция
• равномерное начальное
распределение
c( x,0)  const  c0

  (  x) 2 
 (  x) 2 
c0
  exp  
d 
c ( x, t ) 
exp  

4 Dt 
4 Dt 
4Dt 0  

 




c0
2
2

  exp(  z )dz   exp(  z )dz 
   x

x
4 Dt
 4 Dt

c( x, t )  c0erf
x
4 Dt
Диффузия в полуограниченном теле
• Десорбция, равномерное начальное распределение
1.0
c, a.u.
0.8
D = 1, time:
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
x, cm
8
10
Диффузия в полуограниченном теле
• Десорбция, равномерное начальное распределение
Диффузия в полуограниченном теле
• Десорбция, равномерное начальное распределение
• Поток:
j ( x, t ) x  0
c
D
x
x 0
 x2 
Dc0
D
  c0

exp  
t
Dt
 4 Dt  x 0
• Число частиц, покинувших тело:
t
N (t )   j ( x, t )
0
dt  c0
x 0
4Dt
