Свободный электронный газ

Свободный электронный газ
Рассмотрим свободный электронный газ в одномерной
потенциальной яме.
2

 2 ( x)  E ( x)  0
2m
ikx
 ( x)  Ce
k2 
2mE
2
2 2
k
E
2m
k
n
l
 2 2 2
En 
n
2
n=1,2,3…
2ml
В соответствии с
принципом Паули, в квантовом
состоянии, заданном четверкой квантовых чисел, может
находиться только один электрон. В квантовом состоянии,
заданном тройкой квантовых чисел, могут находится два
электрона с противоположно направленными спинами.
Рассмотрим потенциальную яму при температуре T=0 K
Так как на каждом уровне может находиться не более двух
электронов, то при 0 К окажутся заполнены электронами все
нижележащие уровни, вплоть до некоторого уровня,
получившего название уровня Ферми. Свободный электронный
газ имеется только в проводниках. Для них определен уровень
Ферми. Уровень Ферми – наивысший заполненный
энергетический уровень при 0 К. Построим функцию
распределения электронов по энергиям.
1
1
2
n, l , m, ms
T2  0K
E
EF
При повышении температуры от 0 К электроны,
находящиеся на самых высоких энергетических уровнях,
получают возможность перейти на более высокий уровень.
Уровень Ферми
Уровень Ферми – уровень, вероятность заполнения
которого равна одной второй.
Энергия, соответствующая уровню Ферми, называется
энергией Ферми. Пусть в атоме N электронов, тогда число
уровней, заполненных при 0К будет равно:
N
n 
2
С учетом того, что на данном уровне может быть 2
электрона,
2
2 2
  N
EF 

2 
2ml  2 
Рассмотрим электронный газ в трехмерном случае

2 2 
  (r )  E (r )  0
2m
Решением является функция


ikr
 (r )  Ce
  * dV  1
(V )
2
C
 dV  1
(V )
• Рассмотрим куб размером L.
C 2 L3  1  C 

1 ikr
 (r )  3 e
L2
1
3
L
2
• В трехмерном случае на волновую функцию
накладываются требования: она должна быть
периодической с периодом L.
Это будет выполнено если
2
kx 
n1
L
(n1  1,2,3,...)
2
ky 
n2
L
(n2  1,2,3,...)
kz 
2
n3
L
(n3  1,2,3,...)

1 i (kx xk y ykz z )
 (r )  3 e
L2
k 2  k x2  k y2  k z2
4 2 2
k  2 (n1  n22  n32 )
L
2
n12  n22  n32  n *2
2
4

k 2  2 n *2
L
2k 2
 2 4
En 

 2  n *2
2m
2m L
Перейдем в пространство волновых чисел
n2
n1
n3
Каждая точка в этом пространстве
соответствует
двум
состояниям
электрона, отличающимся направлением
спина.
• Подсчитаем количество состояний с энергией, не
превышающей некоторого значения E.
• Число этих состояний будет определяться объемом
сферы в пространстве квантовых чисел n1, n2, n3,
умноженному на два с учетом ориентации спина.
2
3
2
8  mL2
  2 2

3  2

3
E2
3
4 L3  m  2
2 3 2 
d E
gE 

dE 
 mL2 E
n*   2 2  .
 2  
2mL2 E
n* 
,
2 2
4 
4
 E  2     n *3 ,
3
E
1
2


3
8 L

32
3
 m 2
3

2
 
3
 E2
(1)
1
 E2
kT
gE
0K
EF
E
Обозначим концентрацию электронов через n, тогда
количество электронов в объеме V определяется как nV.
С другой стороны, количество электронов в V
определяются формулой (1)
3
3 3
3
3
2
8 L
m 2 2
8
m
2
nV 
(
)
E
n

E
3
32 3 2
3
 2 322
При 0К заняты все энергетические уровни до уровня
Ферми, следовательно. энергия Ферми определяется
следующим образом
3
2
EF 
3
2
3 2  3 2 n
8m
3
2
EF
2 3 2
3
(
)3
8
2
m
2
n3
,
• Если перевести энергию Ферми в тепловую энергию,
то она будет соответствовать Т=60000 К.
kT  1 eV .
При температуре 300 К
40
Такая энергия может перевести с одного уровня на
другой только электроны, находящиеся вблизи
уровня Ферми. Основная масса электронов поглощать
тепловую энергию не будет. В процессе нагревания
участвует лишь незначительная доля электронов,
находящихся вблизи уровня Ферми. Этим
объясняется малая теплоемкость электронного газа.