1.5. Движение по окружности. Вращательное

Задачник школьника. Fizportal.ru
1.5. Движение по окружности. Вращательное движение твердого тела
Средние угловые скорость  и ускорение  точки при движении по окружности
определены выражениями


,   
  
;
t
t
при движении по окружности с постоянной угловой скоростью ( = const)
 (t )   o   t ;
при движении по окружности с постоянным угловым ускорением ( = const)
1
 (t )  o   t ;  (t )  o  ot   t 2 .
2
Линейная скорость v точки при движении по окружности радиуса R с угловой
скоростью  равна
v  R .
Ускорение точки в проекциях на касательную и нормаль к траектории при движении точки по окружности радиуса R равно
v2
a   R, an    2 R .
R
1.1111. Определите вид траектории материальной точки, которая начинает движение с некоторой начальной скоростью и имеет постоянное по величине ускорение, направление которого: а) постоянно; б) все время составляет угол 90° с вектором скорости точки, причем вектор ускорения лежит в одной и той же плоскости.
1.1121. Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки больше угловой скорости суточного вращения Земли?
1.1131. При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника Земли период его обращения увеличивается в 8 раз. Во сколько раз изменяется
при этом скорость движения спутника по орбите?
1.1141. Точка движется по окружности с постоянной скоростью v = 0,5 м/с. Вектор скорости изменяет направление на Δ = 30° за время Δt = 2 с. Каково нормальное ускорение точки?
1.1151. Каково ускорение точек земного экватора, обусловленное суточным
вращением Земли? Во сколько раз n должна была бы увеличиться угловая скорость
Земли, чтобы это ускорение стало равным g? Радиус Земли R3 = 6400 км.
1.1162. С какой скоростью v и в какое время суток должен лететь самолет на
широте Санкт-Петербурга ( = 60°), чтобы летчик видел Солнце все время на юге?
1.1172. Сплошной диск катится без скольжения по
горизонтальному участку дороги с постоянной скоростью v (см. рисунок). а) Докажите, что линейная скорость вращения относительно центра O любой точки
диска, лежащей на его ободе, равна скорости поступательного движения диска v. б) Определите величину и
направление скоростей точек A, B, C и D, лежащих на
К задаче 1.117
1
ободе диска, относительно неподвижного наблюдателя в тот момент, когда эти точки занимают показанное на рисунке положение. в) Какие точки диска имеют относительно неподвижного наблюдателя ту же по абсолютной величине скорость, что и
центр диска?
1.1182. Найдите нормальное ускорение точек колеса автомобиля, соприкасающихся с дорогой, если автомобиль движется со скоростью v = 11 км/ч, а его колеса
делают n = 8 оборотов в секунду.
1.1192. Диск радиусом R = 10 см, начал вращение из состояния покоя с постоянным угловым ускорением  = 0,50 рад/с2. Каковы тангенциальное a, нормальное
an и полное a ускорения точек на окружности диска в момент времени t = 2,0 с после
начала вращения?
1.1201. Вал начинает вращение из состояния покоя и в первые t = 10 с совершает N = 50 оборотов. Считая вращение вала равноускоренным, определите угловое
ускорение  и угловую скорость  к концу десятой секунды вращения.
1.1212. Барабан начинает вращаться с постоянным угловым ускорением  вокруг своей оси. По какому закону меняется с течением времени угол  между векторами скорости и полного ускорения произвольной точки барабана? Каким будет
значение o этого угла к моменту, когда барабан сделает один полный оборот?
1.1221. Колесо имеет начальную частоту вращения  = 5,0 с–1. После торможения частота вращения колеса уменьшилась за время t = 1,0 мин до значения  = 3,0
с–1. Найдите угловое ускорение колеса  и число оборотов N, сделанных им за время
торможения t, считая  = const.
1.1231. Лопасти вентилятора вращаются с частотой o = 15 с–1. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 оборотов.
Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?
1.1242. Плоский обруч движется так, что в некоторый момент времени скорости
концов диаметра АВ лежат в плоскости обруча и перпендикулярны этому диаметру
(см. рисунок). Скорость точки A равна vA, а скорость точки B равна vB. Определите
скорости концов диаметра CD, перпендикулярного АВ, в этот же момент времени,
считая, что эти скорости также лежат в плоскости обруча.
К задаче 1.124
К задаче 1.125
1.1253. Палочка АВ длины L движется в плоскости чертежа (см. рисунок) так,
что в данный момент времени скорость ее конца A направлена под углом , а скорость конца B – под углом  к палочке. Значение скорости конца A равно v. Определите скорость vB конца В.
1.1262. Тело брошено с отвесного обрыва высотой h с начальной скоростью vo
под углом  к горизонту. Определите величины нормального an и тангенциального
Задачник школьника. Fizportal.ru
a ускорения спустя время Δt после начала движения. Найдите радиус кривизны R
траектории в ее высшей точке.
1.1272. Стержень длиной 2L движется в горизонтальной плоскости таким образом, что в некоторый момент времени скорость одного конца стержня равна v1 и направлена под углом  к стержню, скорость второго конца v2. Определите угловую
скорость  вращения стержня относительно его центра.
1.1283. Катушка с намотанной на нее нитью лежит
на горизонтальной поверхности стола и катится по ней
без скольжения под действием нити (см. рисунок). С
какой скоростью v будет перемещаться ось катушки,
если конец нити тянуть в горизонтальном направлении
со скоростью u? Радиус внутренней части катушки r,
внешней – R. Каковы будут скорость vA и ускорение aA
К задаче 1.128
точки A?
1.1294. Шарнирная конструкция состоит из трех
ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:3 (см. рисунок). Вершина А3 перемещается в горизонтальном направлении со скоростью vo. Определите скорости
вершин A1, A2, B1 и B2 в тот момент, когда все углы ромбов прямые.
Ответы:
1.5. Кинематика движения точки по окружности. Вращательное движение
твердого тела.
1.111. а) Парабола; б) Окружность.
1.112. В два раза.
1.113. Уменьшится в два раза.

 0,13 м/с2.
1.114. an  v
t
4 2 R
gT 2
 17 .
 3,4  102 м/с2; n 
2
4 2 R
T
1.116. Самолет должен вылететь в полдень и лететь противоположно вращению
2 R
Земли со скоростью v 
cos   840 км/ч.
T
1.117. б) v A  2v , точка A движется направо по горизонтали (см. рис. 1.117);
1.115. a 
vB  vD  v 2 , точка B движется вертикально вниз, точка D – вертикально вверх, vC
= 0; в) точки, находящиеся на расстоянии радиуса диска от точки C.
1.118. an  2 nv  103 м/с2.
1.119. a   R  5,0  102 м/с2; an   2 Rt 2  0,1 м/с2; a   R 1   2t 4  0,11 м/с2.
4 N
4 N
 63 рад/с.
1.120.   2  6,3 рад/с2;  
t
t
1.121.  (t )  arctg   t 2  , o  arctg (4 )  85,5o .
2 ( o  )
 
 0,21 рад/с2; N  o
t  240 .
t
2
2N
1.123. t 
 10 с.
o
1.122.  
К задаче 1.129
К задаче 1.130
1.1304. Концы A и B стержня АВ скользят по сторонам прямого угла (см. рисунок). Как зависит от угла  ускорение середины стержня (точки C), если конец B
движется с постоянной скоростью v? Длина стержня равна L.
1.124. vC  vD 
v A2  vB2
.
2
cos 
.
cos 
gv cos 
g | vo sin   g t |
v 2 cos 2 
; a 
; R o
.
1.126. an  o
v
v
g
1.125. vB  v
v1 sin   v22  v12 cos 2 
(при условии v1 sin   v2 ).
2L
R
R
u2R
1.128. v  u
.
, v A  2u
, aA 
2
Rr
Rr
R  r
1.127.  
vo
v
v 2
v 5
.
, v A2  o , vB1  o
, vB 2  o
6
2
12
6
v2
.
1.130. aC 
2 L sin 3 
1.129. v A1 
3