Период колебаний некоторого математического маятника на

Период колебаний некоторого математического маятника на
поверхности Земли равен 4,8 с. Маятник переносят на поверхность
планеты, радиус которой в 1,8 раза превышает радиус Земли, а
плотность в 3,6 раза меньше плотности Земли. Определить период
колебаний данного маятника на поверхности планеты.
При перемещении маятника с земной поверхности на поверхность
другой планеты изменяется ускорение свободного падения и,
следовательно, период его колебаний.
Период
колебаний
математического
маятника
определяется
следующими формулами:
• на поверхности Земли ―
2 ,
где ― длина нити маятника, ― модуль ускорения свободного
падения на поверхности Земли;
• на поверхности планеты ―
2,
где ― модуль ускорения свободного падения на поверхности
планеты.
Отношение уравнений
позволяет выразить искомый период математического маятника на
поверхности планеты:
.
Для нахождения периода необходимо найти отношение модулей
ускорения свободного падения. Для этого запишем следующие
формулы, определяющие модуль ускорения свободного падения:
• для поверхности Земли ―
,
где G=6,67·10-11 м3/(кг·с2) ― универсальная гравитационная постоянная,
M0 ― масса Земли, R0 ― радиус Земли;
• для поверхности планеты ―
,
где M ― масса планеты, R ― радиус планеты.
Их отношение
определяется отношением масс и радиусов.
Считая, что Земля и планета имеют форму шара, запишем для их масс
следующие выражения:
• масса Земли ―
где ― плотность Земли;
• масса планеты ―
где ― плотность планеты.
Отношение масс составляет:
4
,
3 4
,
3
,
а отношение модулей ускорения свободного падения ―
,
или с учетом 1,8 и 3,6 –
1,8 1
.
3,6
2
Подставим полученное отношение в формулу для вычисления искомого
периода математического маятника на поверхности планеты:
√2,
где 4,8с― период колебаний этого маятника на поверхности
Земли.
Расчет дает значение:
4,8 ∙ √2 6,8с.