СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 16

Белорусский Государственный Университет, Минск
Физический факультет
SS 2011/2012
Я.М. Шнир
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Задачи и упражнения 16
√
1. Релятивистский электрон имеет энергию 𝜀 = 𝑐 𝑝⃗2 + 𝑚2 𝑐2 . Определим переменную
𝜃, заданную соотношением ∣⃗𝑝∣ = 𝑚𝑐 sinh 𝜃. Вычислить средние значения cледующих
величин, выраженные как интегралы от некоторых функций этой переменной:
(i) Полного числа частиц 𝑁 ;
(ii) Полной энергии релятивистского фермионного газа 𝐸;
(iii) Давления релятивистского фермионного газа 𝑃 .
2. Предполагая что релятивистский электронный газ полностью вырожден, записать
соответствующее уравнение состояния в ультрарелятивистском и нерелятивистском
пределах.
3. Белый карлик. Рассмотрим газовое облако гелия 4 He массой 𝑀 = 1033 грамм при
плотности 𝜌 = 107 𝑔/𝑐𝑚3 и температуре 𝑇 = 107 𝐾 ∘ . Поскольку соответствующая
энергия много больше энергии ионизации, можно полагать что все атомы ионизированы. Показать, что такой электронный газ является релятивистским и
определить зависимость радиуса белого карлика от его массы.
4. Рассмотрим образец металла, содержащий 𝑁 атомов. Химический потенциал
системы равен 𝜇 а энергетическая зона, содержащая 2𝑁 электронных уровней 𝜀𝑖
занята 2𝑁 − 𝑁 ′ электронами. Показать, что эти электроны дают такой же вклад
в термодинамические характеристики, как и электронный газ с энергетическими
уровнями −𝜀𝑖 и химическим потенциалом −𝜇.
Решения
1. Поскольку 𝑝 = 𝑚𝑐 sinh 𝜃, то с учетом вырождения по спину, можно записать
выражение для плотности числа состояний в виде:
4𝜋𝑉 2
8𝜋𝑉
𝑝
𝑑𝑝
=
(𝑚𝑐)3 sinh2 𝜃 cosh 𝜃𝑑𝜃
3
3
ℎ
ℎ
𝑑𝜔 = 2
Энергия
релятивистского электрона выражается через переменную 𝜃 как 𝜀 =
√
𝑐 𝑝2 + 𝑚2 𝑐2 = 𝑚𝑐2 cosh 𝜃. Следовательно, среднее число частиц релятивистского
квантового ферми-газа определяется соотношением
𝑁=
∑
1
𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) + 1
𝑖
= 8𝜋𝑉
( 𝑚𝑐 )3 ∫∞
ℎ
sinh2 𝜃 cosh 𝜃𝑑𝜃
exp [𝛽(𝑚𝑐2 cosh 𝜃 − 𝜇)] + 1
0
Аналогично, средняя энергия релятивистского квантового ферми-газа равна
𝐸=
∑
𝑖
𝑚4 𝑐5
=
8𝜋𝑉
𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) + 1
ℎ3
𝜀
∫∞
sinh2 𝜃 cosh2 𝜃𝑑𝜃
exp [𝛽(𝑚𝑐2 cosh 𝜃 − 𝜇)] + 1
0
Выражение для давления релятивистского ферми-газа проще всего получить из
определения большого термодинамического потенциала
∑ [
]
−Φ = 𝑃 𝑉 = 𝑘𝐵 𝑇
ln 1 + 𝑒−𝛽(𝜀𝑖 −𝜇)
𝑖
Переходя в последнем выражении к интегрированию по энергии (переменной 𝜃),
получим
𝑃 =8𝜋
( 𝑚𝑐 )3 ∫∞ 1
ℎ
𝛽
[
[
]]
sinh2 𝜃 cosh 𝜃𝑑𝜃 ln 1 + exp −𝛽(𝑚𝑐2 cosh 𝜃 − 𝜇)
0
∞
4 5∫
=
8𝜋 𝑚 𝑐
3 ℎ3
(1)
4
sinh 𝜃𝑑𝜃
exp [𝛽(𝑚𝑐2 cosh 𝜃 − 𝜇)] + 1
0
где мы воспользовались формулой интегрирования по частям:
∫∞
0
]
𝑑(sinh3 𝜃) [
2
ln 1 + 𝑒−𝛽(𝑚𝑐 cosh 𝜃−𝜇) =
3𝛽
∫∞
0
]}
sinh3 𝜃 { [
2
𝑑 ln 1 + 𝑒−𝛽(𝑚𝑐 cosh 𝜃−𝜇)
3𝛽
Для полностью вырожденного ферми-газа (𝑇 = 0) отсюда следует что 𝜀𝐹 =
𝑚𝑐2 cosh 𝜃0 и
𝑚3 𝑐3
𝑁 = 8𝜋𝑉 3
ℎ
∫𝜃0
sinh2 𝜃 cosh 𝜃𝑑𝜃 =
8𝜋𝑉 𝑚3 𝑐3
sinh3 𝜃0
3 ℎ3
0
Аналогично
𝑚4 𝑐5
𝐸 = 8𝜋𝑉 3
ℎ
∫𝜃0
sinh2 𝜃 cosh2 𝜃𝑑𝜃 =
𝜋𝑉 𝑚4 𝑐5
(sinh(4𝜃0 ) − 4𝜃0 )
4 ℎ3
0
При этом давление вырожденного релятивистского электронного газа определяется
соотношением
8𝜋 𝑚4 𝑐5
𝑃 =
3 ℎ3
∫𝜃0
𝜋 𝑚4 𝑐5
sinh 𝜃 =
3 ℎ3
(
4
1
sinh(4𝜃0 ) − 2 sinh(𝜃0 ) + 3𝜃0
4
)
(2)
0
Если определить предельный импульс Ферми 𝑝𝐹 = 𝑚𝑐 sinh 𝜃0 , которому соответствует
энергия равная химпотенциалу при 𝑇 = 0, то из выражения для среднего числа
частиц немедленно получаем соотношение
𝑁=
8𝜋𝑉 𝑝3𝐹
3 ℎ3
что полностью определяет химический потенциал релятивистского газа Ферми.
2. Так как для полностью вырожденного газа Ферми 𝑝𝐹 = 𝑚𝑐 sinh 𝜃0 и
ℎ
sinh 𝜃0 =
𝑚𝑐
(
3𝑛
8𝜋
)1/3
то нерелятивистский предел 𝑝 ≪ 𝑚𝑐 соответствует sinh 𝜃 ≪ 1 а ультрарелятивистский
предел 𝑝 ≫ 𝑚𝑐 соответствует sinh 𝜃 ≫ 1. В нерелятивистском пределе энергия
электрона равна 𝜀 = 𝑚𝑐2 + 𝑝2 /2𝑚 а в ультрарелятивистском пределе можно
использовать приближение 𝜀 = 𝑐𝑝. В нерелятивистском пределе тогда можно
воспользоваться разложениями для энергии
[
]
1
32 ( 𝑝𝐹 )3
3 ( 𝑝 𝐹 )2
1
3
5
1+
+ ...
sinh(4𝜃0 ) − 4𝜃0 ≈ (4𝜃0 ) + (4𝜃0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ≈
3!
5!
3 𝑚𝑐
10 𝑚𝑐
и для давления
1
2
8 ( 𝑝 𝐹 )5
1
sinh(4𝜃0 ) − 2 sinh(𝜃0 ) + 3𝜃0 ≈
(4𝜃0 )5 − (2𝜃0 )5 + ⋅ ⋅ ⋅ ≈
4
4 ⋅ 5!
5!
5 𝑚𝑐
что приводит к соотношениям
[
]
8𝜋𝑉 𝑚4 𝑐5 ( 𝑝𝐹 )3
3 ( 𝑝𝐹 )2
𝐸=
1+
+ ...
3 ℎ3
𝑚𝑐
10 𝑚𝑐
и
𝑃 =
8𝜋 𝑚4 𝑐5 ( 𝑝𝐹 )5
15 ℎ3
𝑚𝑐
то есть
3 𝑝2𝐹
2
);
𝑃𝑉 ≈ 𝐸
5 2𝑚
3
𝑚𝑐 𝜃0
В ультрарелятивистском пределе 𝑝𝐹 ≈ 2 𝑒 и следовательно
𝐸 ≈ 𝑁 (𝑚𝑐2 +
( 𝑝 )4
1
𝐹
sinh(4𝜃0 ) − 4𝜃0 ≈ 𝑒4𝜃0 = 8
2
𝑚𝑐
( 𝑝 )4
1 4𝜃0
1
𝐹
sinh(4𝜃0 ) − 2 sinh(𝜃0 ) + 3𝜃0 ≈ 𝑒 = 2
4
8
𝑚𝑐
Таким образом,
𝑚4 𝑐5 ( 𝑝𝐹 )4
𝐸 = 2𝜋𝑉 3
;
ℎ
𝑚𝑐
то есть 𝑃 𝑉 =
2𝜋 𝑚4 𝑐5 ( 𝑝𝐹 )4
𝑃 =
3 ℎ3
𝑚𝑐
𝐸
.
3
3. Положим что число электронов в полностью ионизированной системе равно 𝑁 .
Тогда число 𝛼-частиц (ядер атомов гелия 4 He) равно 𝑁/2, масса каждой 𝛼частицы равна 4𝑚𝑝 , причем масса звезды почти полностью определяется суммарной
массой 𝛼-частиц, вклад в нее электронных масс пренебрежимо мал. Электронная
плотность тогда может быть оценена как
𝑛=
𝑁
2𝑀
𝜌
=
=
≈ 1030 𝑐𝑚−3
𝑉
4𝑚𝑝 𝑉
2𝑚𝑝
где мы учли что 𝑀 = 𝑁 ⋅ 𝑚𝑒 + 12 𝑁 ⋅ 4𝑚𝑝 ≈ 12 𝑁 ⋅ 4𝑚𝑝 . Следовательно, импульс
Ферми равен
( )1/3
3𝑛
𝑝𝐹 = ℎ
≈ 2 ⋅ 10−17 𝑔 ⋅ 𝑐𝑚/𝑠
8𝜋
Поскольку 𝑛 =
𝑀
2𝜋𝑉
, то
(
𝑝𝐹 = ℎ
9𝑀
64𝜋 2 𝑚𝑝 𝑅3
)1/3
что полностью определяет параметр 𝜃0 .
С другой стороны, величина 𝑚𝑐 ≈ 9.1 ⋅ 10−28 × 3 ⋅ 10−10 ≈ 2.7 ⋅ −17 𝑔 ⋅ 𝑐𝑚/𝑠, то
есть электроны являются релятивистскими. При этом температура Ферми равна
𝑇𝐹 ∼ 𝑚𝑐2 ∼ 106 eV ∼ 1012 K∘ . Если 𝑇 ≪ 𝑇𝐹 , то газ можно рассматривать как
сильно вырожденный и в вычислениях оправданно положить 𝑇 = 0.
Условие стабильности белого карлика заключается в балансе его внутренней
энергии и гравитационного взаимодействия, то есть изменение внутренней энергии
релятивистского вырожденного ферми-газа
𝑑𝐸 = −𝑃 𝑑𝑉 = 𝑃 (𝑅) ⋅ 4𝜋𝑅2 𝑑𝑅
должно быть сбалансировано гравитацией:
𝑑𝐸 = 𝛾
𝐺𝑀 2
𝑑𝑅
𝑅2
где 𝛾-некоторый коэффициент, учитывающий радиальную зависимость распределения
массы белого карлика. Таким образом, условие равновесия означает что
(
)
𝜋 𝑚4 𝑐5 1
𝛾 𝐺𝑀 2
𝑃 (𝑅) =
sinh(4𝜃
)
−
2
sinh(𝜃
)
+
3𝜃
=
0
0
0
3 ℎ3
4
4𝜋 𝑅4
где мы воспользовались выражением (2) для давления вырожденного релятивистского
электронного газа.
Заметим, что в предельных случаях 𝜃0 → 0 и 𝜃0 → ∞ выполняются соотношения
{
24 5
𝜃 , 𝜃0 → 0
1
15 0
sinh(4𝜃0 ) − 2 sinh(𝜃0 ) + 3𝜃0 =
1 4𝜃0
4
𝑒
𝜃0 → ∞
8
(
)1/3
Учитывая что 𝑝𝐹 = 𝑚𝑐 sinh 𝜃0 = ℎ 64𝜋9𝑀
, получим оценку в этих предельных
2 𝑚 𝑅3
𝑝
случаях
⎧
(
)5/3

4ℎ2
9𝑀
⎨
2
, 𝜃0 → 0
𝛾 𝐺𝑀
15𝑚 64𝜋 2 𝑚𝑝 𝑅3
𝑃 (𝑅) =
=
(
)
4/3

4𝜋 𝑅4
9𝑀
⎩ ℎ𝑐
𝜃0 → ∞
2
3
6𝜋
64𝜋 𝑚𝑝 𝑅
Следовательно, при 𝜃0 → 0 𝑅 ∝ 𝑀 −1/3 а при 𝜃0 → ∞ масса стремится к пределу
Чандрасекара:
(
)3/2 (
)2
3 ℎ𝑐
9
𝑀 = 𝑀0 =
2 𝛾𝐺
64𝜋 2 𝑚𝑝
определяющему минимальный размер белого карлика.
4. Свободная энергия свободного электронного газа состоящего из 2𝑁 −𝑁 ′ электронов,
определяется как
∑ [
]
𝐹 = (2𝑁 − 𝑁 ′ )𝜇 − 𝑘𝐵 𝑇
ln 1 + 𝑒𝛽(𝜇−𝜀𝑖 )
𝑖
Заметим, что число электронов в энергетической зоне определяется как
{
}
∑
]
∂ ∑ [
1
𝛽(𝜇−𝜀𝑖 )
′
2𝑁 − 𝑁 ≡
= 𝑘𝐵 𝑇
ln 1 + 𝑒
𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) + 1
∂𝜇
𝑖
𝑖
Преобразование свободной энергии приводит к выражению (здесь мы воспользуемся
тем что ln(1 + 𝑒𝑥 ) = ln(𝑒𝑥 (1 + 𝑒−𝑥 )) = 𝑥 + ln(1 + 𝑒−𝑥 ))
∑ [
] ∑
𝐹 = (2𝑁 − 𝑁 ′ )𝜇 − 𝑘𝐵 𝑇
ln 1 + 𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) −
(𝜇 − 𝜀𝑖 )
=
∑
𝑖
′
𝜀𝑖 − 𝑁 𝜇 − 𝑘𝐵 𝑇
∑
[
ln 1 + 𝑒
𝑖
𝛽(−𝜇−(−𝜀𝑖 ))
]
(3)
𝑖
𝑖
∑
Поскольку величина
𝜀𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ее можно отбросить изменив начало отсчета
энергии. Очевидно, что тогда выражение (3) совпадает со свободной энергией
системы электронов с энергией −𝜀 и химпотенциалом −𝜇. С другой стороны,
}
∑
∑{
∑
1
1
1
′
2𝑁 − 𝑁 =
=
=
2𝑁
−
1
−
𝛽(𝜀
−𝜇)
𝛽(𝜇−𝜀
)
𝑖
𝑒 𝑖
+1
1+𝑒
1 + 𝑒𝛽(𝜇−𝜀𝑖 )
𝑖
𝑖
𝑖
то есть
𝑁′ =
∑
𝑖
∑
1
1
=
𝛽(𝜇−𝜀
)
𝛽(−𝜀
𝑖
𝑖 −(−𝜇))
1+𝑒
1+𝑒
𝑖
что согласуется с вышеуказанной интерпретацией (ферми-газ положительно заряженных
дырок).