Четырехугольники І. Произвольный четырехугольник АВСD.

Четырехугольники
І. Произвольный четырехугольник АВСD.
1. А+В+С+D=3600
2.
3.
d1, d2 – диагонали
1). S= ½ d1d2sin φ
2). SАОВ * SСОD = SВОС * SАОD
(На основе формулы площади треугольника S= ½ авsinС )
1). МNPQ – параллелограмм, т.к. NP║AC║ MQ,
NP = ½ AC = MQ
Если AC = BD, то MNPQ – ромб.
Если AC ┴ BD, то MNPQ –прямоугольник.
Если AC = BD и AC ┴ BD, то MNPQ – квадрат.
ІІ. Параллелограмм.
1.
а). Биссектрисы соответственных углов параллельны.
б). Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
в). М – равноудалена от а и b.
2. Определения, свойства, признаки параллелограмма и его частных видов.
3.
а).Биссектриса угла отсекает от параллелограмма
равнобедренный треугольник.
б).Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне,
перпендикулярны.
в).Точка М-пересечение биссектрис равноудалена от АD и
ВС→ М принадлежит средней линии параллельных
прямых→MN║ BC║ AD и является средней линией.
г).∆AFD, ∆KFC, ∆ABK попарно подобны.
д). SABD= SACD= SBCD= SABC= SABM= ½ SABCD
1
е).d12 +d22 =2(а2 +в2)
ж). S= ahа= bhb = absinA = ½ d1d2sinφ
ІІІ.Трапеция.
1.
а).∆АВF- равнобедренный
б).<AMB = 900, <CND = 900
в). М, N равноудалены от прямых ВС и АD→ МN лежит на
средней линии трапеции.
а). SABD = SACD , SABC = SDBC , SAOB = SCOD
2.
б). S2AOB = SBOC* SAOD.
в).SAOD ∕SCOB = а2/в2 =АО2/ОС2 ; SAOB/SAOD = OB/OD;
SBOC/SCOD = OB/OD =CO/OA = b/a
г). S = ½(a+b)h = MN *h , т.к. MN – средняя линия
MN= ½ (a+b)
д). SAQB = ½ SABCD
3.
Если AD= BC, то AC = BD, <DAB =<CBA, <D= <C.
AH = MN (средняя линия),
S = AH *CH.
4. Дополнительные построения.
а).Высоты из вершин меньшего основания.
б).
в).
CM║AD→CM = AD, BM = a-b
CM║DB→ CM = DB, AM = a+b, SACM=SABCD
г).
MQ║AD , MP║CB → QP = a-b, <QMP = <(DA, CB)
2
Геометрия четырехугольника (подготовка к ЕГЭ-2011).
1.В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квадрат, имеющий с
треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.
2. В параллелограмме ABCD AB = 4, AD = 8. Биссектрисы углов
пересекаются в точке К, углов С и Д – в точке М. Найдите КМ.
A и
В
3. Биссектрисы углов A и D параллелограмма АВСD пересекают сторону BC в
точках K и M соответственно, причем эти точки делят сторону BC на три равные
части. AK =8, DM = 6. Найдите периметр параллелограмма.
4. На стороне AB параллелограмма ABCD отмечены точки K и M так, что AK =
KM = MB.
Отрезки CK и DM пересекаются в точке O. Площадь
параллелограмма равна 40. Найдите площадь треугольника COD.
5. Дан ромб ABCD, его диагонали равны 6 и 8. Из вершины тупого угла В
проведены высоты ВЕ и BF. Найдите площадь четырехугольника.
6. Найдите площадь параллелограмма, если длины его сторон равны a и b , а угол
между диагоналями, противолежащий стороне длиной a, равен α.
7. Найдите площадь параллелограмма, если длины его диагоналей равны m и n , а
угол параллелограмма, противолежащий диагонали n , равен φ.
8. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, L, M и N являются серединами
сторон AB, BC, CD, DA соответственно. O– точка пересечения отрезков KM и
LN. Известно, что
<LOM = 900 и KM = 3LN. Найдите длины диагоналей AC и
BD , если площадь четырехугольника KLMN равна S .
9. Основания трапеции равны 6 и 10, а боковые стороны 2 и 4. Биссектрисы углов
при одной боковой стороне пересекаются в точке А, а при другой – в точке В.
Найдите АВ.
10. Сумма углов при одном основании трапеции равна 900, а основания равны a и
b. Найдите расстояние между серединами оснований.
11. Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами AB = 36, CD = 34 и верхним
основанием
BC = 10. Известно, что cos<ABC = ─1/3 . Найдите BD.
3
12. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны и точкой пересечения
делятся в отношении 3:4. Площадь четырехугольника с вершинами в серединах
сторон трапеции равна 196. Найдите боковую сторону трапеции.
13. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, одно из оснований
равно 17, а площадь равна 81. Найдите второе основание трапеции.
14. В трапеции ABCD основания равны 13 и 26, одна из боковых сторон равна 5, а
<C ─ <A = 900. Найдите площадь трапеции.
15. Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания BC.
Высота BH пересекает диагональ в точке M, площадь треугольника AMH равна 4.
Найдите площадь трапеции.
16. В трапеции ABCD с длинами оснований AD = 12, BC = 8 на луче BC построена
такая точка M, что прямая AM делит трапецию на две равновеликие фигуры.
Найдите длину CM.
17. Сумма длин высоты и средней линии равнобедренной трапеции равна
площадь трапеции равна S. Найдите угол между диагоналями трапеции.
c, а
18. В трапеции ABCD основания AD и BC равны a и b соответственно. Через
точку Е, принадлежащую стороне AB и делящую ее в отношении AE: BE = m : n,
проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая сторону CD
в точке F. Докажите, что
EF =( an +bm)/ (m+n). (Или : Найдите EF).
19. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD с основаниями AD и BC
отмечены точки
P и Q соответственно, причем PQ ║AD. Прямая PQ разбивает
трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 1: 2 . Найдите PQ ,если
AD = a и BC = b.
20. В трапеции основания равны 28 и 14, а боковые стороны 13 и 15. Через точку
пересечения диагоналей параллельно основаниям проведена прямая. Найдите
площадь получившихся трапеций.
21. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины
оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
4